2.1.1　引例

1.变速直线运动的瞬时速度

由物理学知道，自由落体运动的方程是

下面确定物体在t0时刻的瞬时速度.

物体从t0时刻到t0+Δt这段时间内下落的距离为

物体在Δt这段时间内的平均速度为

当Δt→0时，的极限就是物体在t0时刻的瞬时速度，即

对于一般的变速直线运动，物体的运动方程为

s=s（t）；

下面确定它在t0时刻的瞬时速度.

物体从t0时刻到t0+Δt这段时间间隔内所经过的路程

Δs=s（t0+Δt）-s（t0）.

物体在Δt这段时间内的平均速度为

当Δt→0时， 的极限就是物体在t0时刻的瞬时速度，即

2.曲线的切线的斜率

函数y=f（x）的图形一般为一条曲线C，下面来确定曲线C在点M（x0，f（x0））处的切线的斜率.（如图2-1所示）

在点M的邻近取一点N（x0+Δx，f（x0+Δx）），则割线MN的斜率为

当点N沿曲线C趋向于点M时，割线MN的极限位置称为曲线C在M点的切线.因此，切线的斜率为

在实际生活中也有很多求变化率的问题，如电流强度，化学反应速度，人口增长率等，以上例子的共同之处在于：

（1）它们的结果都是当自变量的增量趋于零时，函数的增量和自变量的增量的比的极限.

（2）如果不考虑它们的具体意义，它们具有相同的结构形式.

这类问题的解决具有普遍性，因此从中抽象出一个非常重要的数学概念——导数.