2.2 塑性模型

这里的塑性模型定义了弹塑性本构关系中的塑性部分，弹塑性本构关系中的弹性部分由弹性模型定义。

2.2.1 Mohr-Coulomb模型

Mohr-Coulomb塑性模型主要适用于单调荷载下的颗粒状材料，在岩土工程中应用非常广泛。

1.模型基本理论

（1）屈服面。

ABAQUS中Mohr-Coulomb模型的屈服准则为剪切破坏准则，也可设置为受拉破坏准则。

Mohr-Coulomb模型中剪切屈服面函数为：

F=Rmcq−ptanϕ−c=0　　　　　　　　　　　　（2-23）

其中，ϕ是q-p应力面上Mohr-Coulomb屈服面的倾斜角，称为材料的摩擦角，0°-ϕ-90°；c是材料的黏聚力。Θ是极偏角，定义为，r是第三偏应力不变量J3；Rmc(Θ，ϕ)按下式计算，其控制了屈服面在π平面的形状。

受拉破坏准则采用Rankine准则：

F t =R r(Θ)q−p−σt =0　　　　　　　　　 （2-25）

式中，Rr(Θ)=(2/3)cos(3Θ)，σt是抗拉强度，可随等效拉伸塑性应变变化。

图2-6给出了Mohr-Coulomb屈服面在子午面（Θ=0）和π面上的形状，由图可以比较其与Drucker-Prager屈服面，Tresca屈服面，Mises屈服面之间的相对关系。

（2）塑性势面。

由图2-6可见，Mohr-Coulomb屈服面存在尖角，如采用相关联的流动法则（即塑性势面与屈服面相同），将会在尖角处出现塑性流动方向不唯一的现象。为了避免这一问题，ABAQUS 中采用了如下形式的连续光滑的椭圆函数作为塑性势面，其形状如图2-7所示：

式中，ψ是剪胀角；是初始黏聚力，即没有塑性变形时的黏聚力。ε为子午面上的偏心率，它控制了 G 在子午面上的形状与函数渐近线之间的相似度。若ε=0.0，塑性势面在子午面上将是一条倾斜向上的直线，ABAQUS中默认为0.1。Rmw(Θ，e，ϕ)则控制了其在π面上的形状，其由下式计算：

e是π面上的偏心率，主要控制了π面上Θ=0~π/3的塑性势面的形状。默认值由下式计算：

按照上式计算的e可保证塑性势面在π面受拉和受压的角点上与屈服面相切。当然用户也可指定e的大小，但其范围必须为：0.5＜e≤1.0。图2-7给出了不同的大小对应的塑性势面。

（3）硬化规律。

ABAQUS 中剪切塑性面的硬化或软化通过控制凝聚力c的大小实现。用户必须指定c与等效塑性应变（Equivalent plastic strain）之间的变化关系，通常通过表格输入。等效应变为：

式中，eij为偏应变张量。

2.定义Mohr-Coulomb模型

Mohr-Coulomb模型可用于ABAQUS/Standard和Abaqus/Explicit。

在Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Plasticity】/【Mohr coulomb plasticity】命令，此时对话框如图2-8所示。通过对话框上的Deviatoric eccentricity和 Meridional eccentricity 可以分别定义 π 面上的偏心率e和子午面上的偏心率ε，一般无须变动。在Edit Material的Plasticity选项卡中，用户可以指定Friciton Angle（摩擦角）和Dilation Angle（剪胀角）；在Cohesion选项卡中用户可以指定Cohesion Yield Stress（黏聚力）和Abs Plastic Strain（等效塑性应变），若不指定塑性应变，ABAQUS认为黏聚力保持不变，即为理想线弹塑性模型。如有需要，选中Specify tension cutoff复选框，在Tension Cutoff选项卡中设置抗拉强度。

3.Mohr-Coulomb模型使用注意事项

（1）Mohr-Coulomb模型需和线弹性模型联合使用。

（2）由于Mohr-Coulomb模型采用了非关联流动法则，因此必须采用非对称求解器，尤其是对应极限承载力分析的情况（接近破坏），否则可能会出现计算不易收敛的情况。

提示：

非对称算法在Edit Step对话框的Other选项卡中进行设置。

（3）除了一维单元和平面应力类单元外，Mohr-Coulomb模型可用于ABAQUS/Standard中的任何具有位移自由度的单元。

（4）Mohr-Coulomb模型中的黏聚力必须大于0，对于砂土等材料，可将黏聚力取一较小值。

（5）剪胀角的取值必须慎重，若将其取为与摩擦角相同，意味着在剪切破坏过程会产生无限制的体积膨胀现象。

（6）Mohr-Coulomb模型没有考虑率相关性。

2.2.2 扩展的Drucker-Prager模型

ABAQUS对经典的Drucker-Prager模型进行了扩展，屈服面在子午面的形状则可以通过线性函数、双曲线函数或指数函数模型模拟，其在π面上的形状也有所区别。

1.线性Drucker-Prager模型

（1）屈服面。

线性Drucker-Prager模型的屈服面如图2-9所示，函数为：

F=t−ptanβ−d =0　　　　　　　　　　　　　 （2-30）

式中， ，是另一种形式的偏应力，是为了更好地反映中主应力的影响；

β是屈服面在p~t应力空间上的倾角，与摩擦角ϕ有关。

k是三轴拉伸强度与三轴压缩强度之比，反映了中主应力对屈服的影响，为了保证屈服面是凸面，要求0.778-k-1.0。不同的k的屈服面在π面上的形状是不一样的，参见图2-9。当k=1时，有t=q，此时屈服面为米塞斯（Mises）屈服面的圆形。

d是屈服面在p~t应力空间t轴上的截距，是另一种形式的黏聚力，其可按如下方式确定：

d=(1−1/3 tan β)σ c，根据单轴抗压强度σc定义。

，根据剪切强度τ定义。

d=(1/k+1/3 tan β)σ t，根据单轴抗拉强度σt定义。

（2）塑性势面。

线性Drucker-Prager模型的塑性势面如图2-10所示，函数为：

G=t−ptanψ　　　　　　　　　　　　　　 （2-31）

由于塑性势面与屈服面不相同，流动法则是非关联的。

需要指出当ψ=β，k=1时，线性Drucker-Prager模型即退化为经典的Drucker-Prager模型。

（3）硬化规律。

ABAQUS中的扩展Drucker-Prager模型允许屈服面等向放大（硬化）或缩小（软化）。屈服面大小的变化是由等效应力σ控制的，用户通过给出σ与等效塑性应变的关系来控制。等效塑性应变为。

针对线性Drucker-Prager模型，ABAQUS中提供了以下3种形式。

σ取为单轴抗压强度σc，。

σ取为单轴抗拉强度σt，。

σ取为凝聚力d，。

2.双曲线Drucker-Prager模型

（1）屈服面。

双曲线 Drucker-Prager模型的屈服面如图2-11所示，其是由 Rankine 最大拉应力状态和高围压下线性Drucker-Prager应力状态组合而成的连续函数，函数形式为：

式中，为材料的初始平均应力抗拉强度；β为高围压下的摩擦角，如图2-11所示；为硬化参数，为d'的初始值，可按如下方式确定：

，根据单轴抗压强度σc定义。

，根据单轴抗压强度σt定义。

，根据黏聚力d定义。

（2）塑性势面。

双曲线Drucker-Prager模型的塑性势面如图2-12所示，函数为：

式中，ε为子午面上的偏心率，它控制了 G 在子午面上的形状与函数渐近线之间的相似度，ABAQUS会自动根据采用的模型设置默认值，用户无须理会。其余参数意义如前。

类似地，当ψ=β时退化为相关联的流动法则。

（3）硬化规律。

双曲线Drucker-Prager模型的屈服面硬化思路和线性Drucker-Prager模型是一致的，只不过，等效塑性应变的定义有所区别，其为。

3.指数Drucker-Prager模型

（1）屈服面。

指数Drucker-Prager模型的屈服面如图2-13所示，其函数形式为：

F=aq b−p−pt =0　　　　　　　　　　　 （2-34）

式中，a与b是与塑性变形无关的材料参数。pt是硬化参数，表示材料的抗拉强度，可按下列方式确定：

，根据单轴抗压强度σc定义。

，根据单轴抗压强度σt定义。

pt =ad b，根据黏聚力定义。

提示：

由于双曲线和指数形式的屈服面函数中未包含第三应力不变量，其在π面是一个圆形。

（2）塑性势面。

指数Drucker-Prager模型的塑性势面与双曲线Drucker-Prager模型相同。

（3）硬化规律。

指数Drucker-Prager模型采用pt作为硬化参数，此时等效塑性应变的定义与双曲线Drucker-Prager模型相同。

4.模型参数的实验标定

岩土体本构模型的参数通常用三轴试验获得，用户在试验曲线上选择合适的点重新绘到应力空间中以便确定模型参数。实验数据标定模型参数看似很简单，只要将实验数据点标在相应的应力空间中，然后即可按照模型理论进行拟合，但是，这其中要特别注意试验结果的表达方式，如偏应力用的是q还是t。这里将三轴实验中的应力变量符合含义解释如下。

（1）三轴压缩试验。

在三轴压缩试验中，试件受到均布围压，然后在某一个方向上受到附加的压应力。这样，3个主应力均为负值，即：

0≥σ1=σ2≥σ3　　　　　　　　　　　　　（2-35）

因而有：

（2）三轴拉伸试验。

在三轴压缩试验中，试件受到均布围压，然后在某一个方向压力减小。3个主应力的关系为：

0≥σ1≥σ2 =σ3　　　　　　　　　　　　　（2-40）

因而有：

提示：

ABAQUS中的应力符号与土力学中相反。

5.Drucker-Prager模型与Mohr-Coulomb模型参数之间的关系

Drucker-Prager模型与 Mohr-Coulomb模型的参数并不相等。如 Mohr-Coulomb 的摩擦角ϕ不同于Drucker-Prager的β角。但两个模型之间的参数是可以互换的。

（1）平面应变问题。

由于是平面应变问题，可以假定k=1。Drucker-Prager模型与Mohr-Coulomb模型的参数之间有如下关系：

对于相关联流动法则，ψ=β，从而得：

对于非相关联流动法则，由ψ=0，可得：

相关联流动与非相关联流动法则，两者的差异是随着摩擦角的增加而减小的，对于典型的摩擦角，两者的差异并不大，如下表所示。

（2）三维问题。

三维问题中Mohr-Coulomb模型与Drucker-Prager模型参数的转换关系如下：

在线性Drucker-Prager模型中，为了使屈服面保持为凸面，需要0.778-k-1.0。而式（2-52）又可写成：

上式意味着ϕ≤22°，而工程中许多实际材料的摩擦角都大于22°，此时可选择k=0.778，同时用式（2-51）求出β，用式（2-53）定义来进行处理。这样处理仅适用于三轴压缩的情况。若摩擦角ϕ比22°大很多，建议采用Mohr-Coulomb模型。

6.定义扩展的Drucker-Prager模型

扩展的Drucker-Prager模型可用于ABAQUS/Standard和Abaqus/Explicit。

在Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Plasticity】/【Drucker Prager】命令，此时对话框如图2-14所示。对话框的Shear criterion下拉列表中有3个选项，Linear（线性）、Hyperbolic（双曲线）和 Exponent form（指数），分别对应于线性、双曲线和指数模型。随着选项不同，Data数据列表所需设置的参数也不同：

Linear：设置β、k和ψ。

Hyperbolic：设置β、和ψ。

Exponent form：设置a、b和ψ。

在图2-14所示右侧的Suboptions选项中，选择Drucker Prager Hardening可以控制硬化的模式，并设置硬化参数随塑性应变的变化。选择Triaxial Test Data命令可以通过三轴数据直接拟合模型参数，此时之前定义的硬化性质将被覆盖。

提示：

在通过试验数据拟合参数时，用户可指定a、b和pt中的部分参数，ABAQUS会自动拟合余下的参数。

7.Drucker-Prager模型使用注意事项

（1）通过耦合适当的蠕变模型，Drucker-Prager模型可在ABAQUS/Standard中同时计算蠕变和塑性变形。蠕变模型通过对话框的Suboptions下拉菜单中的Drucker-Prager Creep定义。

（2）Drucker-Prager模型的弹性部分可采用线弹性模型或多孔介质弹性模型联合使用。但若计算蠕变，只能采用线弹性模型。

（3）由于Drucker-Prager模型采用了非关联流动法则，因此必须采用非对称求解器。

（4）Drucker-Prager模型可用于平面应变、广义平面应变、轴对称和三维单元，除了考虑率效应的线性Drucker-Prager模型之外，其余模型也可用于平面应力单元。

（5）Linear（线性）、Hyperbolic（双曲线）和Exponent form（指数）3种模型中，Linear模型在π面的轨迹可以是曲边三角形，可考虑拉、压强度的不一致。其余两者在π面的模型为Mises圆。

（6）Linear模型在子午面上假设剪切屈服应力与平均应力成正比，常用于模拟主要受压的材料。对于岩石等材料，有可能出现明显的受拉，此时推荐采用双曲线模型。指数型式模型可通过拟合试验数据的手段直接确定参数，灵活性最高。

2.2.3 修正Drucker-Prager帽盖模型

前面介绍的Mohr-Coulomb模型和Drucker-Prager模型不能反映压缩导致的屈服，也就是说在等向压应力作用下，材料永远不会屈服，这显然与土体的特性是不吻合的。为了解决这一问题，ABAQUS 中提供了修正Drucker-Prager帽盖模型，其是在线性Drucker-Prager模型上增加一个帽盖状的屈服面，从而引入了压缩导致的屈服，同时也能控制材料在剪切作用下的剪胀。

1.模型基本理论

（1）屈服面。

修正的 Drucker-Prager 帽盖模型的屈服面如图2-15所示。由图可见，屈服面主要由两段组成， Drucker-Prager 给出了剪切破坏面和右侧的帽盖曲面。注意，这里称为剪切“破坏面”意味着这一部分不会发生硬化，即是理想的塑性，在后面的流动法则中我们会看到该处的塑性变形增量方向指向左上方，即发生剪胀变形，造成体积增加，随着会造成帽盖的缩小（软化）。帽盖面是一个椭圆曲线，可以放大或缩小（与塑性体积应变有关）。在剪切破坏面和帽盖屈服面之间ABAQUS用渐变曲线光滑连接。

剪切破坏面为：

Fs =t−ptanβ−d=0　　　　　　　　　　　　 （2-55）

帽盖面为：

式中，R是控制帽盖几何形状的参数；α是一个数值很小的数，其决定了过渡区的形状，我们会在后面讨论；pb是帽盖面与p轴的交点，称为压缩屈服平均应力（hydrostatic compression yield stress），其控制了帽盖的大小。pa是帽盖面与过渡面交点对应的p值，由下式确定：

过渡面为：

这里的α通常为0.01≤α≤0.05。α=0表示没有过渡区，此时由于帽盖面的法线方向都指向右侧（体积压缩），帽盖面上不会出现软化；α取得越大其过渡面的曲率也就越大，有利于拟合剪切破坏数据点。

（2）塑性势面。

修正Drucker-Prager帽盖模型的塑性势面同样也采用几段组成（见图2-16），其在帽盖面上是相关联的，而在剪切破坏面和过渡区是非关联的。

帽盖面上的塑性势面函数为：

剪切破坏面和过渡区的塑性势面函数为：

（3）硬化规律。

修正Drucker-Prager帽盖模型中的硬化参数为pb，用户可以分段指定pb与塑性体积应变的关系（见图2-17）。图2-17 中的是蠕变引起的塑性体积应变，塑性体积应变轴的原点可取任意值。为分析开始时材料的初始状态在该轴上对应的位置。

2.定义修正Drucker-Prager帽盖模型

修正Drucker-Prager帽盖模型可用于ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit。

在Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Plasticity】/【Cap Plasticity】命令，此时对话框如图2-18所示。Data数据列表中需要设置的参数为：

Material Cohesion：p~t平面上的黏聚力d。

Angle of Friction：p~t平面上的摩擦角β。

Cap Eccentricity：R，需大于0。

Init Yld Surf Pos：指定定义初始屈服面位置。

Transition Surf Rad：α，包含蠕变效应时α=0。

Flow Stress Ratio：k，三轴拉伸强度与三轴压缩强度之比。

在图2-18所示右侧的Suboptions选项中，选择Cap Hardening，在弹出的Suboption Editor对话框中用户可以通过表格给定pb随的变化。

3.修正Drucker-Prager帽盖模型的使用注意事项

（1）修正Drucker-Prager帽盖模型可和线弹性模型或多孔介质弹性模型联合使用。

（2）修正Drucker-Prager帽盖模型采用了非关联流动法则，因此必须采用非对称求解器。

（3）修正Drucker-Prager帽盖模型可用于平面应变、广义平面应变、轴对称和三维单元，不能用于平面应力单元。

（4）用户必须定义初始应力条件，如果初始应力状态点落在初始帽盖面的外侧，ABAQUS 会自动调整帽盖面的初始位置，使得应力状态点落在帽盖面上。但如果初始应力状态点落在剪切破坏面的外侧，ABAQUS将不能继续计算。

（5）修正Drucker-Prager帽盖模型可考虑率相关性和蠕变效应，但若考虑蠕变，弹性部分只能采用线弹性模型。

（6）若使用了修正Drucker-Prager帽盖模型，此时输出变量PEEQ不再代表等效塑性应变，而是帽盖的位置pb。

2.2.4 临界状态塑性模型（Critical state plasticity model）

修正剑桥模型是由英国剑桥大学 Roscoe 等人建立的一个有代表性的土的弹塑性模型，其模型采用了椭圆屈服面和相适应的流动准则，并以塑性体应变为硬化参数，在国际上已被广泛地接受和应用。ABAQUS中的临界状态塑性模型是（修正）剑桥模型的推广。

1.模型的基本理论

（1）屈服面。

修正剑桥模型的屈服面如图2-19所示：

式中，M 是临界状态线（critical state line，CSL）在p-t平面上的斜率；a是椭圆与CSL线的交点所对应的p大小。β是控制屈服面形状的参数，在t>Mp的一侧β=1；在t<Mp的一侧，β可不等于1，其影响了该侧屈服面的形状。

（2）塑性势面。

剑桥模型采用相关联的流动法则，即塑性势面与屈服面相同。

（3）硬化规律。

常规土力学中的剑桥模型β=1，其是以椭圆屈服面与p轴的交点的p值大小pc来控制屈服面大小的变化的。在ABAQUS 中，由于β可不等于1，因而用前面提到的a作为硬化参数，两者之间的关系为a=pc/(1+β)，当β=1时，有a=pc/2。

ABAQUS中提供了两种方式定义硬化规律：

指数形式（Exponential form）：

式中，J pl是体积变化率（变形后体积与初始体积之比）中的塑性部分；e0是初始孔隙比；λ是等向固结压缩曲线在e~lnp上的斜率；κ是多孔介质弹性对数体积模量。因为塑性体积应变，小应变下上式即为土力学中的常规表达方式，ABAQUS塑性体积应变以拉为正。

分段直线形式（Piecewise linear form）：用户通过数据列表给出 pc与塑性体积应变的关系， ABAQUS根据a=pc/(1+β)计算a。

（4）初始屈服面大小的定义。

a0反映了初始屈服面大小，ABAQUS中有两种定义方式，一是直接给定a0；二是根据初始孔隙比，由下式计算：

式中，e1是等向压缩固结曲线在e~lnp坐标系上lnp=0处的孔隙比，p0是用户定义的初始平均应力。

2.定义修正剑桥模型

剑桥模型可用于ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit。

在Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Plasticity】/【Clay Plasticity】命令，此时对话框如图2-20所示。Data数据列表中需要设置的参数为：

Log Plas Bulk Mod：λ。

Stress Ratio：M。

Init Yld Surf Size：a0。

Wet Yld Surf Size：β。

Flow Stress Ratio：k。

注意：

（1）若在对话框的Intercept输入框中输入e1，代表根据初始应力和孔隙比按理论公式计算a0，此时无须在Data数据列表中设置a0。

（2）若在Hardening下拉列表中选择了Tabular，则需通过对话框右侧的Suboptions选项定义pc与的关系。

3.剑桥模型的使用注意事项

（1）剑桥模型的弹性部分可以采用线弹性或者多孔介质弹性模型，但在ABAQUS/Explicit中，弹性部分只能采用线弹性模型。

（2）剑桥模型采用了相关联流动法则，可以对称求解器。

（3）剑桥模型可用于平面应变、广义平面应变、轴对称和三维单元，不能用于平面应力单元。

（4）用户必须定义初始应力和初始孔隙比，如果初始应力状态点落在屈服面外侧，ABAQUS 会自动调整初始屈服面的位置。

（5）若使用了修正剑桥模型，此时输出变量PEEQ不再代表等效塑性应变，而是a0。