2.1 弹性模型

在求解地基中的附加应力等有限的几种情况下，土体可简化为弹性材料。大部分岩土数值分析中，土体需采用弹塑性模型模拟。ABAQUS弹塑性模型中的弹性部分和塑性部分是分开定义的，本节介绍弹性部分。

注意：

ABAQUS本构模型中的应力均为有效应力。

2.1.1 线弹性模型

线弹性模型基于广义胡克定律，包括各向同性弹性模型、正交各向异性（包括横观各向同性）模型和各向异性模型。

1.各向同性弹性模型

各向同性线弹性模型的应力-应变的表达式为：

这里涉及的参数有两个，即弹性模型E和泊松比v，其可以随温度和其他场变量变化。

提示：

ABAQUS的大多数模型中参数都可以与温度等场变量挂钩，从而实现参数在分析过程中的变化。强度折减法就是利用了这一点。

2.正交各向异性弹性模型

正交各向异性的独立模型参数为三个正交方向的杨氏模量E1、E2和E3，3个泊松比v12、v13和v23，三个剪切模量G12、G13和G23，其应力-应变的表达式为：

在正交各向异性模型中，如果材料某个平面上的性质相同，即为横观各向同性弹性体，假定1-2平面为各向同性平面，那么有E1=E2=Ep，ν31=ν32=νtp，ν13=ν23=νpt以及G13=G23=Gt，其中p和t分别代表横观各向同性体的横向和纵向，因此，横观各向同性体的应力-应变表达式为：

其中，Gp =Ep/2(1+νp)。所以该模型的独立模型参数为五个。横观各向同性弹性模型的用法与正交各向异性用法相同。

3.各向异性弹性模型

完全各向异性的弹性模型的独立模型参数为21个，其应力-应变表达式为：

4.定义线弹性模型

线弹性模型可用于ABAQUS/Standard和Abaqus/Explicit。

在Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Elasticity】/【Elastic】命令，此时对话框如图2-1所示。在Type下拉列表中有以下几个选项。

Isotropic：在Data数据列表中填入各向同性弹性弹性模量和泊松比。

Engineering Constants：在Data数据列表中设置正交各向异性（含横观各向同性）的弹性参数。

Lamina：适用于定义平面应力问题的正交各向异性参数。

Orthotropic：在Data数据列表中直接给出刚度矩阵的9个弹性刚度参数。

Anisotropic：在Data数据列表中直接给出21个弹性刚度参数。

Traction和Coupled Traction 用于定义无厚度Cohesive黏结单元的弹性参数，即定义黏结层法向及两个切向名义应变与应力之间的关系，可用于胶水黏结层、岩石中的潜在破裂面的模拟。

2.1.2 多孔介质弹性模型

多孔介质弹性模型是一种非线性的各向同性弹性模型，常与修正剑桥黏土塑性模型搭配使用。

1.模型基本理论

（1）体积应力应变关系。

该模型认为平均应力p=−1/3(σ11+σ22+σ33)（ABAQUS中以拉为正）是体积应变的指数函数，更准确地说，弹性体积应变与平均应力的对数成正比（见图2-2）：

式中，e0是初始孔隙比，p0是初始平均应力，是弹性状态的拉应力极限值。J =V/V0 是当前体积与初始体积的比值，J el是体积比的弹性部分；κ是对数体积模量，对于土体而言，其就是e~lnp平面上的回弹曲线的斜率。

注意到p趋于时，J el趋于∞，即出现受拉破坏。对于土体，常将取，则式（2-5）变成

即岩土工程中的常见形式：

（2）剪切应力应变关系。

多孔介质弹性模型的剪切应力应变关系为：

s=2Geel　　　　　　　　　　　　　　 （2-8）

式中，G为弹性剪切模量，eel为弹性偏应变，s为偏应力张量。

剪切模量的定义方式有两种：

直接给定剪切模量：剪切模量为常数。

给定泊松比：剪切模量由泊松比和体积弹性模量确定，其与平均应力也是相关的，即压缩后剪切模量增加。

2.定义多孔介质弹性模型

多孔介质弹性模型仅可用于ABAQUS/Standard。

在Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Elasticity】/【Porous Elastic】命令，此时对话框如图2-3所示。在Shear下拉列表中有【G】和【Poisson】两个选项，分别对应于直接定义剪切模量和按泊松比定义剪切模量，其中默认按泊松比定义。当选中不同选项之后，在Data数据列表中定义κ、v（或G）和。

3.多孔介质弹性模型使用注意事项

（1）多孔介质弹性模型可单独使用，也可作为以下弹塑性模型的弹性部分。

推广的（Extended）Drucker-Prager模型。

修正的Drucker-Prager帽盖模型。

临界状态塑性（剑桥黏土）模型。

（2）多孔介质弹性模型不能应用于杂交元或平面应力单元，可用于孔压单元。

（3）如果单元采用了沙漏控制，并通过泊松比定义剪切模量，ABAQUS/Standard 无法自动计算沙漏刚度，必须自己指定。

2.1.3 线黏弹性模型

有些土体具有显著的流变特性，需要采用相应的流变模型进行模拟。ABAQUS 中的线黏弹性是模拟蠕变或松弛最简单的模型，其有时域和频域两种形式，频域线黏弹性只适用于稳态分析、基频提取分析等分析步类型，本书主要介绍时域线黏弹性。

1.基本理论

（1）剪切线黏弹性行为。

小变形下，若线黏弹性材料受到随时间变化的剪应变γ(t)作用，则剪应力τ(t)表示为：

式中，GR是随时间相关的松弛剪切模量。以松弛试验为例，瞬间施加一剪应变γ后应变保持不变，则：

τ(t)=GR(t)γ　　　　　　　　　　　（2-10）

松弛剪切模量可通过松弛函数gR(t)表达：

gR(t)=GR(t) G0　　　　　　　　　　 （2-11）

式中，G0是瞬间剪切模量。ABAQUS中将gR(t)以Prony级数的形式表达：

式中，N、和是材料参数。

（2）体积线黏弹性行为。

类似地，松弛体积模量KR(t)表达为：

KR(t)=K0kR(t)　　　　　　　　　　　（2-13）

式中，K0是瞬间体积模量，kR(t)是体积模量松弛函数，同样用Prony级数形式表达。

式中，N、和是材料参数。ABAQUS中认为和相等，即：

2.定义线黏弹性模型

线黏弹性模型可用于ABAQUS/Standard和Abaqus/Explicit。

在Property 模块中，执行【Material】/【Create】命令，在Edit Material 对话框中执行【Mechanical】/【Elasticity】/【Viscoelastic】命令，此时对话框如图2-4所示。在Domain 下拉列表中有 Time 和 Frequency两个选项，分别对应时域和频域。当选择Time后，选项卡上出现Time下拉列表，给出了四种设置黏弹性参数的方法：

Prony：直接设置Prony级数的参数，g_i Prongy、k_i Prongy和tau_i Prongy分别对应设置有【G】和【Poisson】，分别对应于、和τi，N则由Data数据区的行数确定。

Creep test data：根据蠕变试验曲线确定，ABAQUS会根据给定的最大Prony级数项数和拟合误差，自动确定Prony级数参数。选择这一选项，需在对话框右侧的Test Data菜单中通过Shear Test Data（剪切试验数据）和Volumetric Test Data（体积试验数据）分别确定剪切和体积黏弹性。Combined Test Data则同时拟合剪切和体积数据。此时给定的是归一化剪切柔度 jS(t)=γ(t)/(τ0/G0)=γ(t)/γ0（τ0、G0和γ0分别是初始剪应力、初始剪切模量和初始剪应变）或对应的 jK(t)。

Relaxation test data：根据松弛试验数据确定。与Creep test data选项类似，同样需要在Test Data菜单中给出试验数据。此时给定的是归一化模量gR(t)（剪切）或kR(t)（体积）。

Frequencdata：指定频率相关的线黏弹性参数。

3.线黏弹性模型使用注意事项

线黏弹性模型只能与线弹性模型（Linear elastic）和超弹性（Hyperelastic）模型联合使用。在和线弹性模型联合使用时，线弹性模型指定的弹性参数可以是瞬间模量，也可以是长期模量，如图2-1所示。如果指定的是瞬间模量，则剪切模量为：

如果指定的是长期模量，则瞬间模量按下式确定：

类似地，体积模量也有相应的表达方式。

4.常规黏弹性模型的Prony级数表示形式

Kelvin模型和Maxwell模型是最简单的两种黏弹性模型。Kelvin模型由一个虎克弹簧和一个牛顿黏壶并联组成，其不能表示瞬间弹性，也不能描述松弛现象；Maxwell模型由一个虎克弹簧和一个牛顿黏壶串联而成，能描述瞬间应变、稳定蠕变和非线性松弛。为了更好地描述土体的变形特征，常采用多种模型的组合，图2-5所示的模型是由一个弹簧和N个Maxwell体并联组成的，则常应变γ作用下，剪应力应变关系为：

式中，G*是单个弹簧的弹性模量，G i和ηi分别是第i个Maxwell模型中的弹簧模量和黏壶系数。若将式（2-16）展开，则有：

对比式（2-18）和式（2-19）可以确定Prony级数相关参数：

提示：

实际应用中可根据松弛或蠕变试验数据，由ABAQUS自动拟合Prony级数。