第三节 评价指标的处理

综合评价或多目标决策问题中，评价指标可分为高优指标、低优指标和中优指标。顾名思义，指标值越大越好的指标称为高优指标或正指标，例如收益率、治愈率、有效率等。相反，指标值越小越好的指标称为低优指标或负指标，例如死亡率、误诊率、人均诊疗费用等。而处于一定范围或特定值时达到最优的指标称为中优指标或适度指标，例如某些临床指标处于医学参考值范围内时为正常值，超出该范围则可能为异常值；又如人口数、平均病床使用率、门诊医师每小时工作量、试卷难度、照明强度等，不应过大或过小，而应趋于一个适度点。如果忽略中优指标，将其作为高优或低优指标处理，则会降低排序结果的可靠性和科学性。本节介绍几种中优指标转化为高优指标并进行无量纲化处理的方法。

由于不同评价指标的属性和量纲不一致，按照评价模型和特定权重进行排序之前，必须对各评价指标进行转化，以消除不同量纲、数量级和属性类型对排序结果的影响，包括评价指标的同趋势化和无量纲化。同趋势化是指将所有评价指标的属性转化为一致的方向，通常的做法是将低优指标和中优指标转化为高优指标。无量纲化是指将各评价指标的测量值转化为同一区间的数值，例如［-1，1］，以消除量纲和数量级对评价结果的影响。中优指标常见的转化方法包括线性函数法、绝对距离法、隶属函数法和插值法等，研究者可根据决策指标的具体特征选择不同方法。

一、线性函数法

构建一个分段线性函数，当测量值处于一个适度区间内时（如医学参考值范围），将这些测量值全部判定为正常，并取值为0，即与最优方案的距离为0。若测量值超出参考范围，则计算该值与参考值范围边界的距离，见公式（2-16）。式中，X_ij为第i个评价对象的第j个指标值，R_upper和R_lower分别表示该指标参考值范围的上限和下限。由于d_ij均为正值，因此无量纲化方法可采用公式（2-17），由Z_ij构成无量纲化矩阵。该转化方法为线性，因此适用于正态分布的指标。显然，该方法首先将中优指标转化为低优指标d_ij，再将其转化为高优指标Z_ij并进行无量纲化处理。

二、绝对距离法

如果不考虑参考值范围内外的差别，则可计算每一个测量值与适度值的绝对距离，并取倒数，见公式（2-18）。式中，X_ij为初始值，为同趋势化值，μ为适度值或测量值的均数，a是一常数，可避免出现分母为0的情形。也可使用本书第五章公式（5-2）的方法对中优指标进行转换。无量纲化方法采用向量规范化法，见公式（2-19）。该方法适合具有单个适度值而无确切参考范围的指标。

三、隶属函数法

隶属函数是模糊推论模型中的一个概念。经典集合论认为，论域U中的每一个元素X，是否从属于子集A，都可用特征函数｛0，1｝表示，即0表示X不属于集合A，1则表示属于A。但模糊数学理论则认为，X可以同时属于和不属于模糊子集A，其隶属于A的程度用μ（X）表示，称为A的隶属函数，值域为［0，1］的连续区间，μ（X_i）则是元素x_i属于模糊子集A的隶属度。

以一个简单的例子说明隶属函数的概念：现有同一班级3门考试科目的平均成绩构成集合U=｛95，80，65｝。“考试难度的合理性”是一个模糊概念，此处我们将模糊子集A定义为“考试难度合理”。此时要判定一门考试的难度是否合理，可构造一个隶属函数μ（x），将平均分转化为该函数值域范围［0，1］内的一个值。假设转化后这3门考试隶属于模糊子集A的程度分别为0.5、0.9和0.5，即3门考试难度合理的程度是不同的。均分为80的科目考试合理性最高，而另外2门考试难度的合理性相对较低（一门过于简单，另一门则过难）。

在综合评价的TOPSIS法当中，可将模糊子集A视为“最佳方案集”或“理想状态集”，评价对象的某指标值接近正理想解的程度，就是它对子集A的隶属度。处理中优指标时，可构建一个隶属函数，将测量值转化为隶属度。公式（2-20）是隶属函数模型的一个简单例子，是对数函数和极差无量纲化法的结合。X_max和X_min分别表示测量值中的最大值和最小值，X_opt是适度值。k为一常数，用于调节隶属函数的值域，可令X_i=X_opt，f（X_i）=1来反推k值。隶属函数的构造方法并不唯一，研究者可根据实际情况修改函数。

四、插值法

插值法是离散函数逼近的方法，原理是在离散数据的基础上补插形成连续函数，使得这条连续函数通过给定的离散数据点。设f（X）是一个表达式未知的函数，并已知f（X）在区间［a，b］上的n+1个互异点X₀，X₁，X₂，…，X_n处的函数值分别为f（X₀），f（X₁），f（X₂），…，f（X_n）。现构建一个函数p（X），使f（X_k）=p（X_k），在一定取值区间内利用p（X）近似表示f（X）。

函数f（X）关于节点X₀，X_k的一阶均差，记为f（X₀，X_k）：

一阶均差f（X₀，X_k）和f（X₀，X₁）的均差则称为函数f（X）关于节点X₀，X₁，X_k的二阶均差，记为f（X₀，X₁，X_k）：

类似地，f（X）关于k+1个节点的k阶均差为：

特别地，对于三个互异的插值点，即适度点和参考范围的上下限，其插值见公式（2-24）。适度值（参考值范围均数或中位数）所对应的函数值记为f（X₀），参考值范围上下限所对应的函数值记为f（X₁）和f（X₂），通常f（X₁）=f（X₂），以［X₀，f（X₀）］，［X₁，f（X₁）］和［X₂，f（X₂）］三个点作为插值点，利用牛顿插值法公式获得函数。

五、应用实例

例2-3　在某次调查中，研究者抽取了海南省10家三级甲等医院，进行“绿色医院”的综合评价。评价模型中，病床使用率和病房夜间照明强度属于中优指标，其原始数据见表2-13。试用上述方法对其进行同趋势化和无量纲化处理。

根据文献和国家标准，病床使用率具有一个适度范围，即85%～93%，而病房照度是一个适度值，即100lx。在本例中，我们采用线性函数法和牛顿插值法对病床使用率进行转化，并采用绝对距离法和隶属函数法对病房照度值进行转化，并统一转化为高优指标，具体如下。

1.线性函数法

病床使用率适度范围的上下限分别为R_upper=93%，R_lower=85%，代入公式（2-16）得下式

将初始值依次代入，得到原值与适度范围上限或下限的距离，即d_ij（低优），再代入公式（2-17）得到无量纲化值Z_ij（高优），见表2-13。

例如医院A，X_ij=1.227，大于适度范围的上限，因此：

2.插值法

以三个点进行插值时，将得到一个二次函数。为使函数在当前取值范围内的值域介于［0，1］之间，病床使用率取适度范围中位数89%时，令函数值为1；病床使用率为85%和93%时，令函数值为0.99，因此3个插值点［X₀，f（X₀）］，［X₁，f（X₁）］，［X₂，f（X₂）］的取值分别为［0.89，1］，［0.85，0.99］，［0.93，0.99］。将插值点代入公式（2-24）后得到下式：

再将初始值依次代入该式，可直接得到高优的无量纲化值f（X），见表2-14。

3.绝对距离法

根据公式（2-18），取病房照明强度的适度值μ=100，常数a=0得到下式，将初始值代入后得到绝对距离的倒数，即X_ij（高优），再代入公式（2-19）得到无量纲化值Z_ij（高优），见表2-15。

例如，对于医院A，首先进行同趋势化

然后进行无量纲化

4.隶属函数法

将病房照明强度的适度值X_i=100，f（100）=1，测量值中的最大与最小值X_min=8.68，X_max=342.99代入公式（2-20），计算得到参数k₁和k₂。

将k₁和k₂回代入公式（2-20），得到下式。再将初始值依次代入下式，直接得到无量纲化值，即表2-14中的f（X_i）。

由以上结果可知，线性函数法和倒数法计算方法简单，适用于测量值为正态分布的指标，但灵活性相对较差，无量纲化后的数值也略为保守。插值法和隶属函数法灵活性较强，可根据实际情况对函数进行修改，同趋势化和无量纲化过程可一步完成，且结果更能体现数据间的差异，但函数的构建具有一定的主观性。

（胡明　沈敏学　孙平）