1.5　连续波雷达

与脉冲雷达不同，连续波雷达发射和接收的波形不是间歇式的，而是在较长时间范围内分别利用发射天线和接收天线连续发射与接收信号。连续波雷达可以分为单频连续波雷达和调频连续波（Frequency Modulated Continuous Wave，FMCW）雷达，其中单频连续波雷达仅可测速而无法测距，而调频连续波雷达既可测速又可测距。单频连续波雷达、调频连续波雷达的数学表达式与前述单频脉冲雷达、调频脉冲雷达基本一致，仅从发射波形上看，可以将它们视作占空比接近100％的脉冲波形的特殊情况。此外，连续波雷达中的带宽、相参处理间隔等基本概念也与脉冲雷达中的相近，这里不再赘述。

1.5.1　单频连续波雷达测量速度的算法

单频连续波雷达发射的波形如式（1-20）所示，形式上与单频脉冲相同，只不过单频连续波雷达可以同时接收和发射信号。假设在一个相参处理间隔内只有一个chirp，满足Tp=TCPI。在连续波雷达中，目标的距离、多普勒参数主要通过差频获取。将差频表示为fb，其为接收信号频率fR与发射信号频率，即fT之差fb（t）=fR（t）-fT（t）。差频信号的形式为

单频连续波雷达差频信号示意如图1-17所示，其中给出了静止目标和运动目标的回波。静止目标的回波为sR（t）=αexp（j2πf0（t-τ）），不产生多普勒频率，因此差频为fb=0。对于运动目标，假设目标在径向做匀速运动，目标到雷达的距离为R（t）=R0+vrt，则目标散射回波的延时为，其中。则运动目标的回波为

式中，时间范围为。于是差频信号为

差频信号是一个单频信号，差频等于多普勒频率，即fb=fd。对差频信号做傅里叶变换，则频谱会在fd处产生峰值。由于多普勒频率fd=-2vr/λ与径向速度vr成正比，因此差频信号的频谱可表征目标的速度分布。无论是对静止目标还是对运动目标而言，回波的差频都无法反映回波的延时，因此单频连续波雷达通常只能被用于测速，而不能用于测距［5-10］。

1.5.2　单chirp调频连续波雷达测量距离与速度的算法

使用调频连续波可以有效解决单频连续波不能测距的问题。单chirp调频连续波雷达测量静止目标距离的原理如图1-18所示。在一个相参处理间隔中包含一个up-chirp阶段和一个down-chirp阶段，设它们的长度均为Tp=TCPI/2。首先考虑静止目标，接收信号与发射信号之间的延时导致两者之间存在频率差。以up-chirp阶段为例，差频信号的表达式为

式中，时间范围为。因此，在up-chirp阶段，差频信号是一个单频信号，差频为fb=-γτ，其中γ=B/Tp为调频率（图1-18中up-chirp阶段的斜率）。通过对差频信号做傅里叶变换，可以估计出差频fb，据此计算出目标到雷达的距离为

1.4节讨论了脉冲雷达中匹配滤波与模糊函数的关系。线性调频脉冲雷达波形的模糊函数幅度已在式（1.49）中给出。当场景中只有单个静止目标时，差频信号为，因此差频信号的傅里叶变换为

式中，（τ，f）b为线性调频信号的模糊函数。这说明差频信号的傅里叶变换形式与模糊函数有关，而模糊函数可以视作匹配滤波的推广。因此，调频连续波雷达测距算法的本质也是匹配滤波，只不过这里的匹配滤波是通过差频信号的傅里叶变换实现的。根据式（1-49），对于固定的延时τ，式（1-70）中的在处取最大值，这与式（1-69）的结果相同。

当目标有径向运动时，目标的回波在产生延时τ的同时，也产生多普勒频率。与1.5.1节相同，假设目标在径向做匀速运动，目标到雷达的距离为R（t）=R0+vrt，则目标散射回波的延时为。将其代入式（1-68），并忽略二次相位项的变化，得到up-chirp阶段的差频信号表达式为

即差频信号为单频信号，频率为fb=fd-γτ0。

单chirp调频连续波雷达收发信号与差频信号的时频分布如图1-19所示。此时，式（1-70）变为S（fb）=σ*（τ0，fb-fd），峰值出现在fb=fd-γτ0处，则式（1-69）不再成立，不能仅通过up-chirp阶段的S（fb）实现测距。此时，可以综合up-chirp阶段和down-chirp阶段的差频信号测量目标的径向速度与距离。在图1-19（a）中，up-chirp阶段的差频为fR（t）-fT（t）=f1，满足f1=fd-γτ0；down-chirp阶段的差频为fR（t）-fT（t）=f2，满足f2=fd+γτ0，因此有f1+f2=2fd。则可估计目标的径向速度为

在图1-19（b）中，差频信号的两个拐点的坐标满足2γτ=Δf=f2-f1，因此可以计算出运动目标的距离为

当目标静止时，有f1=-f2=fb，则式（1-73）与式（1-69）相同。

需要说明的是，以上分析仅涉及一个目标。在式（1-72）和式（1-73）中，测量运动目标的径向速度与距离时需要同时用到up-chirp阶段和down-chirp阶段的差频信号。这是因为线性调频脉冲雷达波形的距离-多普勒耦合、延时（或目标距离）和多普勒频率（或目标径向速度）都会产生接收信号与发射信号的差频。图1-20是“距离-速度”平面示意。在图1-20（a）中，单个up-chirp阶段和单个down-chirp阶段的差频fb只能各自给出“距离-速度”平面内的一条测量直线，只有结合两条测量直线才能确定唯一的交点。然而，当场景中存在多个目标时，up-chirp阶段和down-chirp阶段的测量直线在“距离-速度”平面内会产生多个交点，除了目标真实的运动状态，还有“鬼像”。例如，在图1-20（b）的4个交点中，只有两个为真实目标［7］。

1.5.3　快速chirp雷达测量距离与速度的算法

快速chirp的调频体制是一种应用广泛的雷达波形，其特点是在一个相参处理间隔内有多个chirp信号，很好地解决了单chirp调频连续波雷达观测多个目标时出现的“鬼像”问题［7］。快速chirp信号的波形及处理流程如图1-21所示，它包含一组up-chirp信号。chirp重复的间隔称为扫频重复间隔（Chirp Repetition Interval，CRI），记为T，其倒数称为扫频重复频率（Chirp Repetition Frequency，CRF），记为fCRF。与脉冲串雷达类似，可以将快速chirp雷达采集的差频信号排列为数据矩阵。在一个chirp内的采样点对应的维度称为快时间，采样间隔为Ts=1/fs，fs为采样率，设每个chirp内的采样点数为N，满足T=NTs；不同chirp对应的维度称为慢时间，设每个相参处理间隔内的chirp数为M，满足TCPI=MT。这样，时间t可以表示为t=mT+tn=mT+（n-N/2）Ts，m=0，1，…，M-1，n=0，1，…，N-1，差频信号可以排列为数据矩阵s［n，m］=sm（tn）=s（mT+tn）。

与1.5.2节中up-chirp阶段的推导类似，假设目标以恒定的径向速度vr运动，目标到雷达的距离为R（t）=R0+vrt，延时为，其中。则第m个chirp中差频信号的表达式变为

假设目标在一个相参处理间隔内的运动不超过一个距离单元，即，则在γτtn和两项中可以近似认为R（t）≈R0或τ≈τ0，于是有

式中，；快时间取值范围为。与脉冲串雷达类似，快速chirp雷达的最大无模糊多普勒频率取决于扫频重复间隔。如果目标的多普勒频率为-fd，ua～fd，ua，则有，这说明差频主要受距离的影响，而多普勒频率对差频的影响小于一个距离单元对差频的影响。因此，可以认为，在快时间维做傅里叶变换，就得到了目标距离像信号ym（R），表达式为

在快速chirp体制中，差频信号的采样率通常远小于chirp信号的带宽，即fs≪B。当不产生距离模糊时，差频满足fb≤fs，最大无模糊距离为，则有。因此，在计算式（1-76）的积分时，可以近似认为式（1-75）成立的时间范围为-T/2≤tn≤T/2。由此得到目标距离像信号ym（R）的表达式为

式中，为多普勒频率造成的距离测量误差。当不产生速度模糊时，，可以近似认为R0+ΔR≈R0，而目标运动对差频的影响主要体现在多个慢时间单元之间的相位exp（j2πfdmT）上。在实际的信号处理中，可以对s［n，m］在快时间维做FFT，得到距离-慢时间信号y［l，m］，将距离R离散化为L个距离单元，l=0，1，…，L-1，表达式为

式中，为归一化多普勒角频率。多普勒频率估计的后续推导与1.4.3节中的相同。在慢时间维做FFT，得到距离-多普勒谱为

其幅度近似为

距离-多普勒谱表征了目标的距离、径向速度分布，其峰值出现在rl=R0、ωk=ωd处。

单个运动目标的距离-多普勒谱仿真如图1-22所示。在仿真中，雷达载频为24GHz，波长约为1.25cm。目标在径向做简谐运动（这里雷达只反映目标的径向运动，目标实际运动状态也可以是匀速圆周运动等曲线运动），目标距离、径向速度分别为R（t）=R0+R1sin（ωt），vr（t）=ωR1cos（ωt），其中目标运动的起始距离为R0=10m，幅度为R1=0.4m，角速度为ω=π rad/s，最大径向速度为ωR1=0.4π≈1.26m/s，最大多普勒频率约为201Hz。由于目标的运动状态满足方程，因此目标的距离-多普勒谱近似为一个椭圆，如图1-22中的蓝色实线所示。不同运动状态的目标会在距离-多普勒平面留下不同的轨迹，因此距离-多普勒谱可用于识别目标的不同运动状态，如识别人体不同的手势、步态等。

1.5.4　快速chirp雷达微多普勒测量的算法

除了目标整体运动导致的多普勒频率，由于各部分的运动状态不同，人体等复杂目标还会产生微多普勒。例如，人体四肢运动、呼吸、心跳等都会产生微多普勒［15］。下面介绍利用快速chirp波形测量微多普勒的处理流程。首先根据式（1-76）对数据矩阵s［n，m］沿快时间维做FFT，得到距离-慢时间信号y［l，m］。由于目标整体位于某一距离范围内，因此微多普勒分析的输入（t）可以是一个或若干个距离门内的慢时间信号，即

式中，G为选定的距离门范围。对一维时序信号（t）做时频分析，即得到时频图，可以反映多普勒频率随时间变化的规律。常用的时频分析工具有短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）、维格纳-威利分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）、科恩（Cohen）类等［10-14］。

以STFT为例，微多普勒谱可获取如下。

式中，w（t）是某一窗函数（如矩形窗、Hamming窗等）。STFT就是用一个滑动窗截取信号，对窗内信号做傅里叶变换，即可得到随时间窗滑动变化的频率分布，也就是目标的时频图。滑动窗的窗长设置会影响时频分辨率，窗长越长，时间分辨率ρt越低，频率分辨率ρfd越高。时频分辨率的关系满足［14］

这就是STFT的不确定性关系，说明高时间分辨率与高频率分辨率不能兼顾。不同窗长下STFT计算得到的时频图如图1-23所示，其中窗长分别为64、128和512，慢时间采样间隔均为1ms。在仿真中，雷达载频为24GHz，波长约为1.25cm。目标在4s内做了一次匀速折返运动，径向速度为1m/s。在前2s中，目标匀速远离雷达，多普勒频率为fd=-160Hz；在后2s中，目标匀速接近雷达，多普勒频率为fd=160Hz。当窗长为64时，时频图上的条带在多普勒频率维较宽，说明频率分辨率较低，但是两个条带在时间维几乎没有重叠，说明时间分辨率较高。当窗长为512时，尽管两个条带在多普勒频率维较窄，即频率分辨率较高，但是两个条带在时间维明显重叠，说明时间分辨率较低。当窗长为128时，时频图的时频分辨率介于上述两者之间。

WVD是另一种重要的时频分析工具，其表达式为

WVD的物理含义是瞬时自相关函数的傅里叶变换，因此WVD的幅度具有能量谱的含义，表征了信号（t）的能量在时间、频率两个维度上的分布。

下面用仿真实验展示STFT和WVD的时频分析结果，如图1-24所示。在仿真中，雷达载频为24GHz，波长约为1.25cm。在图1-24（a）～（c）中，目标在径向做简谐振动。与1.5.3节相同，目标距离、径向速度分别为R（t）=R0+R1sin（ωt），vr（t）=ωR1cos（ωt），其中目标运动的起始距离为R0=10m，幅度为R1=0.4m，角速度为ω=π rad/s，最大径向速度为ωR1=0.4π≈1.26m/s，最大多普勒频率约为201Hz。从图中可以看出，目标距离、多普勒频率均为时间的正弦函数。在图1-24（d）～（f）中，目标在径向做匀速折返运动。目标初始距离为R0=8m，径向速度为1m/s。在前2s中，目标匀速远离雷达，多普勒频率为fd=-160Hz；在后2s中，目标匀速接近雷达，多普勒频率为fd=160Hz。由于在两段运动中目标速度保持不变，因此在时频图中出现了两个水平的条带。

STFT和WVD在实际应用中各有优缺点。STFT使用时频基函数与信号计算内积，是一种线性变换，物理意义比较明确，不足之处在于时频分辨率相互限制；WVD是一种非线性变换，没有STFT等线性变换中的时频分辨率限制，但不足之处在于对多分量信号进行分析时存在交叉项，这种交叉项可以用Cohen类算法（带有低通滤波器的WVD）来抑制［14］。时频分析有望提取目标精细的运动信息。例如，在人体感知应用中，当人面朝雷达站立时，人体的四肢、胸廓几乎处于同一个距离单元内，根据距离上的变化很难分析人体各部分的运动，但通过时频分析能够感知到人体的四肢运动、呼吸、心跳等产生的微多普勒［15］。