刘徽《九章算术》序

原文

昔在庖牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术（1），以合六爻之变（2）。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕（3），用稽道原（4），然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首（5）作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数（6），九数之流，则《九章》是矣。

往者暴秦焚书，经术散坏（7）。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂（8），总算术之根源，探赜之暇（9），遂悟其意。是以敢竭顽鲁（10），采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩（11），览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量（12）可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。

《周官·大司徒职》，夏至日中立八尺之表，其景（13）尺有五寸，谓之地中（14）。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。按：《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差（15），勾股则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺，南北各尽平地，同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为勾、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空（16），则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数（17），载之于志，以阐世术之美。辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于勾股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏（18），靡所不入（19），博物君子，详而览焉。

注释

（1）九九之术：九九乘法运算法则。

（2）六爻之变：爻，八卦中的卦名，六个阳爻组成乾卦。爻表示变化、变动，因此称为“六爻之变”。

（3）律吕：即六律和六吕，古代乐律的统称。

（4）用稽道原：稽，考核。原，本源。用以考核道的本源。

（5）隶首：黄帝时的史官，据说是算数的开创者。

（6）九数：《周礼》中“九数”指六艺中的“数”，即数学中九个运算问题。郑玄在《周礼注疏·地官司徒·保氏》注释：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。”

（7）散坏：散失、损毁。

（8）阴阳之割裂：这里指阴阳之别。

（9）探赜之暇：赜，精妙、深奥。暇，空闲、闲暇。

（10）敢竭顽鲁：竭，竭尽全力。顽鲁，顽劣、愚笨。

（11）通而不黩：黩，这里指累赘。通达却又不累赘。

（12）规矩度量：规，画圆的工具。矩，画方的工具。度，计量长短。量，测量重量。

（13）景：同“影”，影长。

（14）地中：这里指一地、一国的中心。

（15）重差：古代测量太阳高、远的方法。这里指反复测量取差，并且以差为比率进行推算。

（16）日满筒空：太阳光充满空筒直径。

（17）考论厥数：考证论述“数”的原理。

（18）幽遐诡伏：幽深神秘、隐藏不露。

（19）靡所不入：无所不囊括。

译文

古代先人庖牺氏是八卦的创始者，用神秘莫测的变化和类推万物的方法，创造了九九乘法运算，以便来推算六爻的变化评测。到黄帝时期，经过神化和引申，创造了历法，并结合乐律来考核道的本源，从而验证两仪四象的精妙之气。据说是隶首最开始运用算数的，但具体情况我们并不知晓。到了周公制礼之时有了九数，就是《九章算术》并流传至今。但是，残暴的秦始皇焚书坑儒，使得大部分经典著作散失、损毁。之后，汉代北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌因为擅长算数而闻名。张苍对残留的数学经典书籍进行了整理、收集和删补，形成了现在的《九章算术》。因此，它的详细内容和古籍大致相同，而论述的方式却与当时类似。

我从小就学习《九章算术》，成年后又详细研究学习，观察阴阳之别，论述算术的本源，在探寻其玄妙之暇，终于领悟其中道理。因此，我虽然顽劣愚笨，但也竭尽所能地搜集资料，为《九章算术》做注释。凡事按照规律来类推，便会使其各得其所，因此尽管很多事物的旁枝虽看似不相干，却可以探究到同一根源。因此，我们若是用语言来分析其原理，用图形来解析其构成，定可以做到简明而全面，通达而不累赘，使得读者能领悟其大意。

同时，算术是六艺之一，是古时君主招揽贤人、教导弟子之法。虽然它称之为“九数”，但小能窥探细微渺小之处，大能探测浩渺无穷之地。至于算法的问题，基本以规、矩、度、量为基础，一般人都能了解和应用。现在喜欢算术的人寥寥无几，因此虽然世上有很多博学、通达的贤人，却未必能通晓算术。

《周官·大司徒职》中有这样的记载：夏至正午立一8尺的表，若是表影长为1尺5寸，则此地为“地中”。其中说，南戴太阳正下方距离太阳15000里，这是用算术的方法推断出来的。参考《九章算术》：立四根表杆，通过树木望山的方法，端点和旁点都相互可见。只要不是遥远到不可见的情况，都可以利用这种方法来观测。由此可见，张苍等人的算法还没有广博到无所不包、无所不能。我了解到“九数”中有“重差”的运算方法，推测其宗旨就是为了计算这方面的问题。凡是望极高、极远之处，都可以利用这“重差”的法则。勾股的算法也将“重差”看作比率。在洛阳城内正南正北立两表，高为8尺，假设两表在同一水平面，同一时间测量两表正午时的影长。取影长之差为除数，表高乘两表的距离为被除数。被除数除以除数，得数加表高，即太阳距离地中的距离。影长之差为除数，南表的影长乘两表的距离为被除数，被除数除以除数，得数为南表与南戴日下的距离。以南戴与太阳的距离为勾，太阳与地中的距离为股，利用勾股定理求弦，弦长为太阳与人的距离。用直径1寸的竹筒观测太阳，太阳光充满竹筒直径，因此竹筒长为股率，筒直径为勾率，人与太阳的距离为大股，与之对应的大勾即太阳直径。这样一来，人们便可以测量天地的广袤，更何况泰山之高、江海之远呢？

我根据流传下来的典籍进行研究，并且参考世间万物，考证论述了算术的原理并且记录在册，目的就是让人们见识算术的精妙。我又探究古人的真意，把“重差”的算法加以注释，补充在勾股章节的后面。测量高度侧重于用表，测量深度侧重于用矩，若是观测的目标孤单、没有参照，应该反复观测三次；若是观测的目标孤单、没有参照且需要另外求其他，应该反复观测四次。因此，只要触类旁通，便可以观测那些隐藏不露、神秘莫测的目标。博学多才的能人，应该详细研读《九章算术》。