2.1.1 无迹卡尔曼滤波基本原理

1960年，匈牙利裔美籍科学家R.E.Kalman将状态空间的概念引入滤波理论，提出基于线性离散系统的卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）[2]。该方法建立在线性最小方差估计的基础上，以递归的方式实现系统状态的滤波估计，算法计算量小、存储量小、结构简单、便于实现，被认为是现代滤波理论的开端。然而，KF将系统噪声限定为高斯白噪声，要求系统误差特性和观测误差特性已知，需要建立精确的系统状态空间模型。此外，工程实际中大多数系统严格意义上都是非线性的，系统的输出与输入不成正比，且非线性系统对初值较为敏感。上述诸多局限使KF在工程实际中的应用受到限制。UKF是线性系统KF在非线性高斯系统中的变体应用[3]，采用无迹变换（Unscented Transformation，UT）进行确定性采样，并在KF框架内完成滤波，属于非线性滤波方法[4]，具有运算高效、稳定性高等优点。UKF包括UT变换、时间更新、观测更新、滤波估计四个步骤[5]，具体介绍如下。

1.UT变换

UT变换首先在原状态分布中按某一规则选取一些采样点，使这些采样点的均值和协方差等于原状态分布的均值和协方差；然后将采样点代入非线性函数，得到相应的非线性函数值；最后求取这些非线性函数值的均值和协方差。

设加性高斯白噪声条件下的非线性高斯系统表示为：

式中，x_t为t时刻的离散状态变量；为t时刻的状态变量观测值；f（·）为非线性系统函数；h（·）为非线性观测函数；ε_t-1～N（0，Q_t）为过程噪声；ξ_t～N（0，R_t）为观测噪声；Q_t和R_t分别为过程噪声与观测噪声的协方差。

UT变换构造了t-1时刻的Sigma点集，包含2n+1个Sigma点，对于第i个Sigma点，其一阶权系数为，二阶权系数为。假设t-1时刻的Sigma点集从多元高斯分布N（μ_t-1，Σ_t-1）中采样，则根据经典对称采样策略，可构造如下Sigma点及其权系数：

式中，[·]_i表示协方差矩阵的第i个列向量；λ=α2（n+κ）-n为比例系数，用于调节Sigma点的距离；κ为尺度参数，对于单变量，κ=0，对于多变量，κ=3-n；0≤α≤1为比例缩放因子；γ为状态分布参数，对于单变量，γ=0，对于高斯分布，γ=2。

2.时间更新

根据式（2-1）与式（2-2）可得Sigma点集在t-1时刻的一步预测为：

其均值μ_t|t-1和协方差矩阵Σ_t|t-1可表达为：

3.观测更新

将一步预测的Sigma点集通过式（2-1）中的非线性观测函数h（·）进行递推，可得Sigma点集的一步预测观测值，即

其均值、协方差与互协方差C_t|t-1分别为：

4.滤波估计

构造滤波增益，可得t时刻状态变量的滤波估计及协方差，即

式中，为t时刻状态变量观测值的滤波估计；为滤波估计的协方差。