3.2.1 傅里叶变换算法理论

1.傅里叶变换定理

首先给出傅里叶变换定理：傅里叶变换表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。具体来讲就是一个以T为周期的函数fT（t），若在上满足狄利克雷条件，则该fT（t）可由三角函数集（n=0，1，2…）表示。表达形式设为

其中，a0、an、bn为傅里叶变换系数，其表达式如下：

a0=

an=

bn=

然后来看傅里叶展开的指数函数形式。

在实践中用得更多的是傅里叶展开的指数函数形式，该形式是通过欧拉公式将三角函数转换成指数函数得到的。用欧拉公式替换掉所有三角函数指数形式的傅里叶级数表达式，可得

令，则傅里叶级数展开的指数函数形式为

2.时域与频域

时域、频域都是信号的基本属性。时域可视为日常可触摸到的领域，是以时间为输入参数的函数，函数的输出值是信号的幅值，比如股票的价格随着时间而波动，时域以时间轴为坐标。频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来，横坐标是频率，纵坐标是幅值。具体讲，如果我们在听一首歌，我们会听到随着时间而起伏波动的音乐声，但是从乐谱来看，就只是乐谱的符号。时域就如我们看到的音乐图像，而频域就如乐谱符号的7个或更多个音符。

为了更加直观地理解傅里叶变换定理，我们给出图3.17，从图中可以看到时域图像、频域图像、时间方向及频率方向。从时间方向来看，我们会看到一个近似钟形的波，我们知道这个钟形的波可以被拆分为一些正弦波的叠加；而从频率方向来看，我们就看到了每一个正弦波的幅值。傅里叶变换是时域与频域之间的转换，它是一种可逆变换，即它允许原始信号和变换过的信号之间互相转换。但是，在傅里叶变换后的频域中不包含时间信息，逆变换后的时域中不包含频率信息。

图3.17 频域图像和时域图像说明

关于傅里叶变换的证明，由于本书篇幅限制暂不公布，有进一步研究意愿的读者，可联系伊园科技官方淘宝店购买。而对于有数学恐惧症的读者，记住傅里叶变换定理的三角函数展开公式以及指数形式的公式，并且理解其含义，在日常的研究中进行应用也足够了。