4.2 极惯性矩

极惯性矩的定义 图4.6所示为一任意形状的平面图形，其面积为A，Oxy为平面图形所在平面内的任意直角坐标系。在矢径为ρ的任一点处，取微面积dA，则可求得下述

积分

I_P=∫_Aρ2dA

（4.6）

式（4.6）中，I_P称为图形对原点O的极惯性矩。由上述定义可以看出，图形的极惯性矩恒为正，其单位是长度单位的四次方，即m⁴或mm⁴。

图4.6

极惯性矩的几何意义 极惯性矩反映了图形面积相对于极点O的分布的远近问题。相同面积的圆和圆环图

形，圆对圆心的极惯性矩小于圆环对圆心的极惯性矩，即I_P圆环＞I_P圆。在工程中，极惯性矩大的杆件，其抗扭转能力大。

圆截面的极惯性矩 如图4.7所示，对于半径为R的圆，若以宽度为dρ的环形区域

取微面积，即

dA=2πρdρ

由式（4.6）可得，圆截面对圆心的极惯性矩为

I_P=∫₀Rρ22πρdρ=π2R⁴

（4.7）

图4.7

图4.8

对于内半径为r、外半径为R的空心圆环截面（图4.8），按上述计算方法，截面对圆心的极惯性矩则为

I_P=∫_rRρ22πρdρ=π2R⁴（1-α⁴）

（4.8）

式中：α为空心圆环截面的内半径r与外半径R的比值，即α=r/R。