1.6　传感器的动态特性

传感器在测量随时间变化的输入量时，其输出与输入关系称为动态特性。当输入量随时间变化时，如果传感器能立即不失真地产生响应，即当传感器的输出量随时间变化的规律与输入量随时间变化的规律一致时具有与输入相同的时间函数，这种传感器就是具有理想动态特性的传感器。但实际应用的传感器一般都不具备这种特性，因为在传感器中往往都存在弹性元件（如弹簧、有弹性的材料）、惯性元件（如质量块）或阻尼元件（如电磁阻尼、油阻尼），由此造成传感器的输出量y(t)不仅与输入量x(t)有关，还与输入量的变化速度dxdt，加速度d2xdt2等有关。这就是造成传感器动态特性与静态特性不同的根本原因。

下面以图1.11所示的柱式水银温度计为例，说明动态测试时温度计实际的输入量与输出量的关系。将温度计置于0℃的恒温水槽中一定时间，那么温度计显示的温度应为0℃（不考虑其他因素造成的误差）。现在将温度计快速地置于30℃的恒温水槽中，通过观测水银柱的变化可知，水银柱不是立即达到输入信号的量值，而是经过t0时间逐步达到输入信号的量值，如图1.12所示。

从柱式水银温度计的测温过程曲线看，在0～t0的时间段，温度计的输出量To(t)与被测值30℃存在的测量误差，称为动态误差。产生动态误差的原因是液体介质有一定的热容量，产生热惯性。当水的热量传到温度计的液体介质中时，液体介质与水温的平衡有一个过程，这个过程称为动态响应过程，所用的时间就是t0。热容量是温度计固有的，用水银温度计测量快速变化的温度时，必定产生动态误差。因此，在使用水银温度计时，不能立即读取温度计的显示值，必须经过一定的时间段，才能读取显示值。

从水银温度计的例子可以看到，温度计的材料、结构等内因是造成动态误差的根本原因。任何传感器都会存在这种固有内因，只不过它们的表现形式和作用程度不同而已。

特别提示

由于传感器输入量随时间变化的规律各不相同，因此在考查和研究传感器的动态响应特性时，为了便于比较不同传感器的动态特性，通常选用有“代表性”的标准信号作为输入信号。常用的标准输入信号有两种：正弦周期输入信号和阶跃输入信号。选用的原因如下：

（1）由于复杂周期输入信号可以分解为多阶谐波，因此常用正弦周期输入信号来代替复杂周期信号作为研究传感器的动态响应特性的输入信号。输入正弦周期信号时，传感器的动态响应称为频率响应（或称稳态响应）。

（2）其他瞬变输入信号不如阶跃输入信号严峻，可用阶跃输入信号代表瞬变输入信号。输入阶跃输入信号时，传感器的动态响应称为阶跃响应（或称瞬态响应）。

因此，研究传感器动态特性的方法有时间域的瞬态响应法和频率域的频率响应法。两种方法存在内在的联系。可根据实际问题的不同，选用不同的方法。

1.6.1　传感器的动态数学模型

1. 微分方程

精确地建立传感器的数学模型在实践中是很困难的。目前仅能对线性系统做比较完善的数学处理，而且在动态测试中非线性的校正还很困难。在实际应用中，传感器可以在一定的精度条件下和工作范围内保持线性特性，因而可以把它作为线性系统来处理。线性系统的数学模型为常系数线性微分方程，即

式中，常系数an,an-1, … ,a1,a0和bm,bm-1, … ,b1,b0均为传感器参数。对传感器而言，除了b0≠0，一般情况下，b1=b2=…=bm=0。

特别提示

线性系统具有如下重要特性：

（1）叠加特性。当线性系统的输入量分别为x1(t)、x2(t)时，对应的输出量分别为y1(t)、y2(t)；当线性系统的输入量为[x1(t)±x2(t)]时，对应的输出量为[y1(t)±y2(t)]

叠加特性表明，同时作用于系统的几个输入量所引起的响应等于各个输入量单独作用时引起的输出量之和，这也表明线性系统的各个输入量所产生的响应过程互不影响。因此，为求线性系统在复杂输入量情况下的输出量，可以把复杂输入量分解成许多简单的输入分量，然后，分别求出各个简单的输入分量所对应的输出分量，最后求这些输出分量之和。

（2）频率不变性。频率不变性又称频率保持性，它表明传感器的输入量为某一频率的信号时，则传感器的稳态输出量也为同一频率的信号。

求式（1-18），可以得到通解（瞬态响应）与特解（稳态响应）。其通解仅与传感器的特性及初始条件有关，特解则与传感器的特性及输入量有关。

2. 传递函数

由于求解高阶微分方程很困难，因此，常采用拉普拉斯变换的方法，将时域的数学模型（微分方程）转换为复数域的数学模型（传递函数），将微分方程转变为代数方程。

当线性系统的初始条件为零时，即在考察时刻以前，其输入量、输出量及其各阶导数均为零，并且测试系统的输入量x(t)和输出量y(t)在t>0时均满足狄里赫利条件，则定义输出量y(t)的拉普拉斯变换Y(s)与输入量x(t)的拉普拉斯变换X(s)之比为测试系统的传递函数，并记为H(s)，即

式中，s称为拉普拉斯算子，它是复变数，s=a+jb且a≥0。可以通过拉普拉斯变换微分的性质推导出线性系统的传递函数表达式。

根据拉普拉斯变换的微分性质则有

在初始值为零的条件下对式（1-18）进行拉普拉斯变换，得

结合式（1-19）可得

式中，an,an-1, … ,a1,a0和bm,bm-1, … ,b1,b0是由测试系统的物理参数决定的常系数。从式（1-22）可知，传递函数以代数式的形式表征了测试系统对输入信号的传输和转换特性。它包含了瞬态响应和稳态响应的全部信息。而式（1-18）则是以微分方程的形式表征传感器线性系统对输入信号的传输和转换特性。因此，传递函数与微分方程两者表达的信息是一致的，只是表达的数学形式不同、研究问题的角度不同。在运算上，传递函数比微分方程简便。

当描述传感器特性的微分方程的阶数n=0时，该传感器称为零阶传感器；同理，n=1时，称为一阶传感器；n=2时，称为二阶传感器；n为更大值时，称为高阶传感器。

式（1-22）还表明，引入传递函数的概念后，在X（s）、Y（s）和H（s）三者之中，知道任意两个，就可以方便地求第三个。

3. 频率响应函数

研究动态特性的频率响应法是通过采用谐波输入信号来分析传感器的频率响应特性的，即从频域角度研究传感器的动态特性。

将幅值为X0、频率为ω的谐波信号x(t)=X0·ejωt输入式（1-18）所描述的传感器线性系统。在稳定状态下，根据线性系统的频率保持特性，该传感器的输出响应仍然是一个频率为ω的谐波信号，只是其幅值和相位与输入信号有所不同，故其输出量可写成：

y(t)=Y0·ej(ωt+φ)

式中，Y0和φ分别为传感器输出信号的幅值与初相位。

将输入量和输出量及其各阶导数分列如下：

将以上各阶导数的表达式代入式（1-18），得

整理后得到：

令

式（1-24）表明传感器的动态响应从时域变换到频域，体现了输出信号与输入信号之间的关系随频率而变化的特性，故称之为传感器的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。

特别提示

根据式（1-24），频率响应函数的物理意义是指当频率为ω的正弦信号作为某一传感器线性系统的激励信号（输入信号）时该传感器在稳定状态下的输出和输入之比。因此，频率响应函数可以视为传感器对谐波信号传输特性的描述。这也是用实验的方法获取传感器特性函数（频率响应函数）的理论证明。

对于稳定的常系数线性系统，其频率响应函数就是当式（1-22）中的拉普拉斯算子s的实部为零时的情况，即s=jω。此时，传递函数变换为频率响应函数，即

式（1-23）第一个等号的左边与式（1-25）第二个等号的右边是完全一样的，说明通过两种方法均可以获得传感器频率响应函数表达式，结果是一致的。

在式（1-25）中，H(jω)是复函数，它可用复指数形式来表达，也可以写成实部和虚部之和，即

式中，Re(ω)为H(jω)的实部，Im(ω)为H(jω)的虚部，两者都是频率ω的实函数；A(ω)为频率响应函数H(jω)的模，即

频率响应函数H(jω)的模A(ω)表明了传感器的输出信号与输入信号的幅值之比随频率变化的关系，称为幅频特性，A(ω)-ω曲线则称为幅频特性曲线。

φ(ω)是频率响应H(jω)的幅角，即

式（1-28）表达了传感器的输出信号对输入信号的相位差随频率变化的关系，称为相频特性，φ(ω)-ω曲线则称为相频特性曲线。

式（1-25）表明，常系数线性系统的频率响应函数H(jω)仅是频率的函数，与时间、输入量无关。若系统为非线性系统，则H(jω)与输入量有关；若系统为非常系数的，则H(jω)还与时间有关。

1.6.2　传感器系统实现动态不失真测试的频率响应特性

测试的目的就是要求在测试过程中采取各种技术手段，使测试系统的输出信号能够真实、准确地反映出被测对象的信息，这种测试称为不失真测试。

一个传感器系统在什么条件下才能保证测量的准确性？传感器系统不失真测试的条件如图1.13所示，图中的输入量x(t)、传感器的输出量y(t)可能出现以下3种情况：

（1）理想的情况。输出信号的波形与输入信号的波形变化完全一致，仅有幅值按比例常数A0进行放大，即输出量与输入量之间满足下列关系式：

此为不失真测试。

（2）输出信号的波形按比例常数A0对输入信号的波形进行放大，但相对于输入波形滞后时间为t0，即满足下列关系式：

这种情况下的输出信号的波形与理想情况下的输出信号的波形相同，只是时间滞后了t0，仍为不失真测试。

（3）失真情况。输出信号的波形与输入信号的波形完全不一样，产生了波形畸变。

分别对式（1-29）和式（1-30）进行傅里叶变换，可得到两种情况下传感器系统所具有的频率响应特性：

若要满足第一种不失真测试情况，则传感器系统的频率响应函数应为

若要满足第二种不失真测试情况，则传感器系统的频率响应函数应为

即传感器系统要实现动态不失真测试时的幅频特性和相频特性应满足下列要求：

或

式（1-33）表明，传感器系统实现动态不失真测试的幅频特性曲线应是一条平行于ω轴的直线，如图1.14（a）所示。式（1-34）和式（1-35）则分别表明，传感器系统实现动态不失真测试的相频特性曲线应是与水平坐标轴重合的直线（理想条件）或是一条通过坐标原点的斜直线，如图1.14（b）和图1.14（c）所示。

应当指出，上述动态不失真测试的条件，是针对系统的输入信号为多频率成分构成的复杂信号而言的。对于单一成分的正弦信号的测量，尽管系统由于其幅频特性曲线不是水平直线或相频特性曲线与ω轴不呈线性关系，导致不同频率的正弦信号作为输入信号时，其输出信号的幅值误差和相位差会有所不同。但只要知道了系统的幅频特性和相频特性，就可以求得输入某个具体频率的正弦信号时系统输出信号与输入信号的幅值比和相位差，因而仍可以精确地获得输入信号的波形。对于简单周期信号的测量，从理论上讲，对上述动态不失真测试的条件可以不做严格要求。但应当注意的是，尽管系统的输入信号在理论上也许只有简单周期信号，实际上仍然可能有不可预见的随机干扰信号存在，这些干扰信号仍然会引起响应失真。一般来说，为了实现动态不失真测试，都要求系统满足A(ω)=A0和φ(ω)=0或φ(ω)=-t0ω的条件。

1.6.3　典型传感器系统的动态特性分析

常见的传感器系统都是典型的线性零阶系统、一阶系统或二阶系统。

1. 零阶传感器系统的动态特性分析

令传感器系统的一般微分方程式（1-18）中的各阶微分项为零，得到零阶传感器系统的数学模型：

其传递函数为

式中，K为传感器的静态灵敏度。

式（1-36）表明，零阶传感器系统的输入量x(t)无论随时间如何变化，输出量的幅值总是与输入量成确定的比例关系，也不产生时间上的滞后。因此，理论上零阶传感器系统不产生动态误差。

2. 一阶系统的动态特性分析

液体温度传感器、某些气体传感器等都是典型的一阶传感器系统。令式（1-18）中的一阶微分项以上的各阶微分项为零，就可得到一阶传感器系统的微分方程：

或

式中，τ=a1/a0为时间常数；K=b0/a0为传感器的静态灵敏度。在线性系统中，K为常数，由于K值的大小仅表示输出量与输入量之间（输入量为静态量时）放大的比例关系，并不影响对系统动态特性的研究。因此，为讨论问题方便起见，可以令K=1。这种处理称为灵敏度归一化处理。灵敏度归一化处理后，式（1-39）变为

其传递函数为

得到了一阶传感器系统的微分方程和传递函数，就可以研究其频率响应特性和阶跃响应特性。

1）一阶传感器系统的单位阶跃响应

当给静止的传感器输入一个单位阶跃信号（信号幅值为1）时，传感器的输出信号就是单位阶跃响应。对传感器的突然加载或卸载就属于阶跃输入。这种输入方法既易于获取，又能充分揭示传感器的动态特性，故在传感器的动态特性研究中常采用该方法。

设单位阶跃信号为

单位阶跃信号u(t)的拉普拉斯变换为

把式（1-43）代入式（1-41），得

求拉普拉斯逆变换，可得Y(s)的时间函数y(t)，y(t)称为单位阶跃响应函数。

特别提示

时间函数的拉普拉斯变换的求取方法有两种：

（1）利用公式直接求取。将x(t)直接代入拉普拉斯变换公式中求取。

（2）查拉普拉斯变换表求取。

一般采用第二种方法。对于频域函数的拉普拉斯反变换，也可采用同样的方法。

根据式（1-45），一阶传感器系统的单位阶跃响应曲线如图1.15所示。

（1）响应曲线随时间呈指数规律变化，逐渐趋于稳定。理论上，t→∞时输出量才能达到稳定值。

（2）根据式（1-45）可算出，当t=τ时，输出量达到稳定值的63.2%。可见，τ越小，一阶传感器系统达到稳定值所需时间越少。因此，时间常数τ是评判一阶传感器系统动态特性的重要指标。

（3）一阶传感器系统单位阶跃响应所产生的动态误差为

根据式（1-46）可算出，当t=3τ时，γ=0.05；t=5τ时，γ=0.007。可见，一阶传感器系统输入单位阶跃信号后，在t>5τ之后采样，可认为输出量已接近稳态值，其动态误差可以忽略。

2）一阶传感器系统的频率响应特性分析

令s=jω，代入（1-41）式，得到一阶传感器系统的频率响应函数，即

其幅频特性和相频特性分别为

式中，ω为传感器的输入信号频率。

一阶传感器系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如图1.16所示。

关于一阶传感器系统的频率响应特性，有以下结论：

（1）当ωτ=1时，根据式（1-48）和式（1-49）计算得到A(ω)=0.707，φ(ω)=-45°，称ω=1/τ为一阶传感器系统的转折频率。此时，传感器灵敏度幅值衰减至静态灵敏度的0.707（-3dB）。

（2）当ωτ=1/3时，根据式（1-48）计算得到A(ω)≈0.95，说明频率ω在范围内，其幅值误差不超过5%，可近似认为一阶传感器系统在此频率范围内满足动态不失真测试条件。

（3）当ωτ大小一定时（幅值误差一定），时间常数τ越小，一阶传感器系统能够测量的频率就越高。

（4）当被测信号的最高频率ω一定时，时间常数τ越小，一阶传感器系统输出信号的幅值误差就越小。

综合上述分析，可以得出结论：反映一阶传感器系统动态特性的指标参数是时间常数τ，原则上是τ越小越好。

【例1-1】求出图1.11所示柱式水银温度计（液体温度计）的数学模型。

解：以Ti(t)表示温度计的输入信号，即被测温度；To(t)表示温度计的输出信号，即示值温度。根据热力学原理和能量守恒定律，可得到热平衡方程：

即

式中，R为传导介质的热阻，C为温度计的热容量。

式（1-50）表明，液体温度计是一阶传感器系统，与感温材料、温度计结构等有关的参数R、C决定了它的动态响应性能。

【例1-2】用一个时间常数τ=5×10-4s的一阶传感器系统测量正弦信号。问：

（1）若要求限制幅值误差在5%以内，则被测正弦信号的频率为多少？此时的幅值误差和相角差各是多少？

（2）若用具有该时间常数的同一系统对50Hz信号进行测试，此时的幅值误差和相角差各是多少？

分析：传感器对某一信号测量后的幅值误差应为

其相角差即相位误差，用φ表示，对一阶传感器系统，若设K=1，则其幅频特性和相频特性分别为

解：（1）因为δ=|1-A(ω)|，故当|δ|≤5%=0.05时，1-A(ω)≤0.05，即

化简得

即被测正弦信号的频率不能大于104Hz。此时，产生的幅值误差和相位误差分别如下：

（2）当进行50Hz信号测试时，有

从以上一阶传感器系统的正弦响应的计算结果可以看出，要使测量误差小，则应使ωτ≪尽可能小。若要满足不失真测试要求，则必须使ωτ<<1。此结论与前述的一阶传感器系统的频率响应特性的分析结果是一致的。

3. 二阶传感器系统的动态特性分析

振动传感器、压电感器等都是典型的二阶传感器系统。令式（1-18）中的二阶微分项以上的各阶微分项为零，得到二阶传感器系统的微分方程，即

灵敏度归一化处理后，式（1-51）可写成

令系统固有频率，系统的阻尼比，则

则式（1-52）可改写为

进行拉普拉斯变换，得

可得二阶传感器系统的传递函数

1）二阶传感器系统的单位阶跃响应

根据二阶传感器系统的传递函数式（1-53）及单位阶跃信号u(t)的拉普拉斯变换式（1-43）可得

求拉普拉斯逆变换可得二阶传感器系统对单位阶跃输入的响应函数。

根据阻尼比ξ的大小不同，分为下列4种情况。

（1）欠阻尼（0<ξ<1）。在欠阻尼情况下，二阶传感器系统的单位阶跃响应函数为

此情况下，二阶传感器系统的单位阶跃响应曲线如图1.17所示。可见，在欠阻尼情况下二阶传感器系统的单位阶跃响应是一个衰减振荡过程，阶跃响应函数y(t)经过若干次振荡逐渐趋向稳定值y(∞)。ξ越小，振荡频率越高，衰减越慢。

图1.17中各参量的定义如下：

峰值时间tm为二阶传感器系统输出响应曲线达到第一个峰值所需的时间；

稳定时间tw为二阶传感器系统输出值达到允许误差范围±∆%所经历的时间；

超调量δm为二阶传感器系统响应曲线第一次超过稳态值而出现的最大偏差。

（2）零阻尼（ξ=0）。当阻尼比ξ=0时，二阶传感器系统的单位阶跃响应函数为

输出信号为一个等幅振荡波形，振荡频率为二阶传感器系统的固有频率ωn，φ0由初始条件确定。

（3）临界阻尼（ξ=1）。当阻尼比ξ=1时，二阶传感器系统的单位阶跃响应函数为

（4）过阻尼（ξ>1）。当阻尼比ξ>1时，二阶传感器系统的单位阶跃响应函数为

式（1-57）和式（1-58）表明，当ξ≥1时，二阶传感器系统对单位阶跃信号的输出响应不再是振荡的，而是由两个一阶阻尼环节组成的，只是前者具有相同的衰减指数，后者不具有相同的衰减指数。

图1.18所示为上述4种阻尼情况下二阶传感器系统的单位阶跃响应曲线。对实际传感器，应适当选取ξ值，要兼顾超调量δm不要太大、稳定时间tw不要过长的要求。计算结果表明，ξ在0.6～0.8范围内，可获得较合适的综合特性。

2）二阶传感器系统的频率响应函数及特性分析

令s=jω，并将其代入式（1-53），整理得到的二阶传感器系统的频率响应函数为

幅频特性函数和相频特性函数如下：

二阶传感器系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如图1.19所示。

特别提示

图1.19是灵敏度归一化后所作的曲线，实际上测试系统的静态灵敏度K值往往不是1，因而幅频特性表达式A(ω)的分子应除以K。

从式（1-60）和图1.19可知，影响二阶传感器系统动态特性的主要参数是固有频率ωn和阻尼比ξ。

（1）当ξ<1且ω/ωn<<1（或ωn>>ω）时，A(ω)≈1，φ(ω)≈0，可认为近似满足动态不失真测试条件。

（2）当ξ<1且ω/ωn=1（或ω=ωn）时，系统产生共振，同时相频特性也变差。ξ越小，共振现象越显著。实际测量时应该避免发生此情况。

（3）计算结果表明，当ξ=0.7时，在ω/ωn=0～0.58的范围内，A(ω)的变化不超过5%，同时φ(ω)也接近于过坐标原点的斜直线。

综合二阶传感器系统的阶跃响应特性和频率响应特性分析可得出结论：为了使二阶传感器系统具有好的动态响应特性，设计传感器时必须使其阻尼比ξ<1，固有频率ωn至少大于被测信号频率ω的3～5倍，即ωn≥（3～5）ω。