3.1　非线性建模

线性关系旨在用最简单的方式解释已知现象，但许多复杂物理现象无法用线性模型解释。例如下面的非线性关系：

f(a + b)≠f(a) + f(b)

尽管非线性关系可能很复杂，但是为了完全理解和建模非线性关系，我们需要看一些应用于金融场景和时间序列模型中的实例。

非线性模型实例

到目前为止，有许多非线性模型被提出来用于学术和应用研究，分析线性模型无法解释的某些经济和金融数据。由于非线性研究太过宽泛和深入，本书无法充分阐释。本节将简要介绍实际中常用的一些非线性模型：隐含波动率模型、马尔可夫转换模型（Markov switching model）、门限模型（threshold model）和平滑转换模型（smooth transition model）。

1. 隐含波动率模型

最常见的期权定价模型应该是布莱克–斯克尔斯–默顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton model），简称为布莱克–斯克尔斯模型。看涨期权是一种在特定时间以特定价格卖出特定证券的权利而非义务。布莱克–斯克尔斯模型假设证券收益服从正态分布，或证券价格服从对数正态分布，从而计算期权平价。

该模型采用以下假设变量：行权价格（K）、到期日（T）、无风险利率（r）、潜在收益波动率（σ）、标的资产当前价格（S）、收益（q）。看涨期权的数学公式C(S, t)表示为：

C(S, t) = SeqTN(d1) – Ke–rTN(d2)

上式中：

由于市场调节作用，期权价格可能与布莱克–斯克尔斯模型计算结果有偏差。特别地，实际波动率（即通过历史市场价格得到的标的收益波动性）可能与该模型采用的波动率σ不一致。

通过第2章讨论的资本资产定价模型，我们已经了解到证券的高风险对应高收益，证券的风险由收益的波动率或标准差度量。

随着波动率在证券定价中的重要性日渐提高，诸多波动率模型被提出，隐含波动率模型即其中之一。

由布莱克–斯克尔斯模型得到的隐含波动率函数图像如图3-1所示，一般称为隐含波动率微笑（volatility smile）。

对于由投机产生的深度实值期权（in-the-money，ITM）或虚值期权（out-of-the-money，OTM），隐含波动率最高；对于平值期权（at-the-money，ATM），隐含波动率最低。

隐含波动率模型的目标之一是从上述波动率曲线中找出隐含波动率的最小值，即找到“根”，此时即可根据该值计算出平值期权的理论价格，与看跌或看涨期权市场价格进行比较。由于该曲线是非线性的，线性代数不能充分求解，本章下一节将介绍一些求根方法。

2. 马尔可夫机制转换模型

马尔可夫机制转换模型（Markov regime-switching model）又称为马尔可夫转换模型，用于金融时间序列的非线性模型构造，可在不同机制状态下描述时间序列。这类状态可能是一种波动状态，例如2008年全球经济低迷时的动荡状态或经济稳步复苏时的增长状态。不同机制间的转换能力使马尔可夫机制转换模型可以捕获复杂的动态模式。

股票价格的马尔可夫特性表明股票未来价格只与当前价格有关，股票历史价格与当前走势并无关系。

以一个m=2的马尔可夫机制转换模型为例：

上式中，εt为独立同分布的白噪声。白噪声是均值为零的正态随机过程。下列虚拟变量也能描述该模型：

yt = x1Dt + x2(1 – Dt) + εt

其中当st = 1时，Dt = 1

或者当st = 2时，Dt = 0

马尔可夫机制转换模型可用于估计实际GDP增长率和动态通货膨胀率，从而对利率衍生品定价模型产生影响。马尔可夫机制转换模型从前一状态i转换到当前状态j的概率为：

P[st = j|st–1 = i]

3. 门限自回归模型

与马尔可夫机制转换模型十分相似的门限自回归模型（Threshold Autoregressive Model，TAR）是用于解释非线性时间序列问题最常见的自回归模型。使用回归方法，简单的AR模型可以说是解释非线性行为的最流行模型。该门限模型的机制由时间序列过去的d值确定，与阈值c有关。

下面是自激励门限自回归（SelfExciting TAR，SETAR）模型的示例。自激励门限自回归模型可根据以往时间序列取值在不同机制间转换。

自激励门限自回归模型可用虚拟变量表示为：

yt = (a1 + b1yt–d)Dt + (a2 + b2yt–d)(1 – Dt)+εt

其中当yt–d≤c时，Dt=1

或者当yt–d > c时，Dt = 0

4. 平滑转换模型

机制状态的快速转换在现实世界中不可能发生，因此我们要引入一个平滑连续函数。通过逻辑函数G(yt–1; γ, c），自激励门限自回归模型就变为逻辑平滑转换门限自回归（Logistic Smooth Transition Threshold Autoregressive，LSTAR）模型：

自激励门限自回归模型变为逻辑平滑转换门限自回归，后者可表示为：

yt = (a1 + b1yt–d)(1 – G(yt–1; γ, c)) + (a2 + b2yt–d)G(yt–1; γ, c) + εt

上式中，参数γ控制机制状态的转变。γ越大，转换越快，且yt–d越靠近阈值c。γ = 0时逻辑平滑转换门限自回归模型相当于一个简单的单机制自回归模型。