2.3 三相静止坐标系下的动态模型

由电机学的基本理论可知，通用的电机耦合电路方程为

式中，u、i、ψ分别为电机绕组的相电压矢量、相电流矢量和磁链矢量，u，i，ψ∈Rⁿ，n为电机相数；R和M分别为电机绕组的电阻矩阵和互感矩阵，且R，M∈R^n×n。

互感矩阵M是随着转子位置θ_r的变化而变化的，因此当电机旋转时M是一个时变矩阵。

电机转子的角速度ω_r与转子位置θ_r之间的关系为

将式（2-11）和式（2-12）代入式（2-10）得到

根据机电能量转换原理，在线性电感的条件下，电机磁场的储能为

电机的电磁转矩等于转子位置变化时电机磁场储能的变化率dW_m/dt，于是有

对于BDFIG，将矢量u和i做如下定义，并考虑到转子的相电压为0，则

式中，u₁=[u_1au_1bu_1c]^T，u₂=[u_2au_2bu_2c]^T，i₁=[i_1ai_1bi_1c]^T，i₂=[i_2ai_2bi_2c]^T，i_r=[i_rai_rbi_rc]^T，其中a、b和c表示相序。

再对BDFIG的电阻矩阵R和互感矩阵M分别做如下定义：

式中，R₁、R₂和R_r分别为PW、CW和转子的相电阻，且，，M₁、M₂和M_r分别为PW、CW和转子的互感矩阵；M₁₂为PW与CW之间的互感矩阵；M_1r为PW与转子之间的互感矩阵；M_2r为CW与转子之间的互感矩阵。

根据BDFIG的原理可知，PW与CW之间没有直接的磁耦合，因此式（2-18）可做如下简化：

式（2-19）中互感矩阵的表达式与BDFIG定子和转子的相序有关。BDFIG可以看作是由PW子系统和CW子系统构成，选取PW子系统和CW子系统的参考坐标系如图2.1所示，其中A_pws、B_pws、C_pws和A_pwr、B_pwr、C_pwr分别为PW子系统中定子与转子的三相轴线，A_cws、B_cws、C_cws和A_cwr、B_cwr、C_cwr分别为CW子系统中定子与转子的三相轴线，PW子系统与CW子系统中的转子反相序连接。以PW子系统中定子绕组的A相轴线A_pws为基准，θ₀为PW的A相轴线与CW的A相轴线之间的初始相位差。

根据参考文献[3，4]，可推导出BDFIG的互感矩阵为

式中，L_σ1、L_σ2和L_σr分别表示PW、CW和转子的单相漏感；L_m1、L_m2和L_mr分别代表PW、CW和转子的单相励磁电感；L_pr和L_cr分别表示PW和转子、CW和转子之间的互感幅值。

将式（2-16）、式（2-17）和式（2-19）代入式（2-13），得到

根据式（2-15）、式（2-16）和式（2-19）可得BDFIG的电磁转矩表达式为

BDFIG的机械运动方程为

式中，J为BDFIG与负载的联合转动惯量；T_l为包括摩擦阻转矩的负载转矩。

根据式（2-20）～式（2-22）和式（2-12），将BDFIG的电流、转子位置和转子角速度作为状态变量，得到BDFIG在静止ABC坐标系下的动态模型的状态空间表达式为

静止ABC坐标系下的动态模型适合于计算暂态过程中BDFIG内部各物理量的变化，这为电机的设计提供了很好的理论依据。然而，从式（2-23）可以看出，静止ABC坐标系下的BDFIG动态模型是一个非线性参数时变系统，特别是互感矩阵随着转子位置θ_r的变化而变化。因此，需要将该模型变换为更利于控制方案实现的形式。