4.1.2　向量的线性运算

（1）向量的概念

① 向量的概念及表示　在高中阶段，我们暂且把具有大小和方向的量称为向量。

从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫作有向线段。点A叫作有向线段的始点，点B叫作有向线段的终点。

如果，那么的长度表示的大小，也叫作的长度（或模），记作||。

两个向量和同向且等长，即和相等，记作。

通过有向线段的直线，叫作的基线。

如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行。这就是说，共线向量的方向相同或相反。向量平行于向量，记作∥。如果向量=λ，则∥；反之，如果∥，且≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使=λ。

长度等于零的向量，叫作零向量，记作。零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行。

② 向量的加法　

对于零向量与任一向量的和有

③ 向量的减法　 （任意）

=－

④ 数乘向量　数乘向量运算满足下列运算律:

（λ+μ）=λ+μ

λ（μ）=（λμ）

λ（）=λ+λ

⑤ 单位向量　给定一个非零向量，与同方向且长度等于1的向量，叫作向量的单位向量。如果的单位向量记作，有=||·，或。

（2）向量的分解与向量的坐标运算

① 向量的分解　如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数a1、a2，使=a1+a2。

② 向量的直角坐标运算

=（x1，y1），=（x2，y2），

||= ，

，

||=

=（x1+x2，y1+y2）

·=x1x2+y1y2

⊥⇔·=x1x2+y1y2=0

∥=x1y2－x2y1=0

（3）平面向量的数量积

① 两个向量的夹角　已知两个非零向量、的夹角可以记作<>，并规定0≤<>≤π。

② 向量的数量积

·=x1x2+y1y2=||||cos<>

cos<>=

③ 向量求斜率

k==tanα

（4）向量在轴上的正射影　已知向量和轴ℓ。作，过点O、A分别作轴ℓ的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量叫作向量在轴ℓ上的正射影（简称射影），该射影在轴ℓ上的坐标，称作在轴ℓ上的数量或轴ℓ的方向上的数量。

在轴ℓ上正射影的坐标记作a1，向量的方向与轴ℓ的方向所成的角为θ，则三角函数中的余弦定义有a1=||cosθ。