1.4　两个重要极限

在函数的极限中，有两个重要极限

通过分析发现，它们是两个特殊的极限模型.为了理解这两个重要极限，先了解极限存在的两个准则.

1.4.1　两个极限准则

准则1（夹逼定理）　如果函数f（x），g（x），h（x）在x的某个变化过程中满足

g（x）≤f（x）≤h（x），

且 ，那么，极限 存在且等于A.

准则2（单调有界准则）　单调有界数列必有极限.

准则2说明：单调上升且有上界的数列必有极限，单调下降且有下界的数列必有极限.

1.4.2　两个重要极限介绍

1.第一重要极限

型的未定式极限，由表1.4.1及图1.4.1，根据夹逼定理可以得出.

由于（其中x→a⇒f（x）→0）等价，所以第一重要极限的模型是：（其中x→a⇒f（x）→0）.

例如，因为有x→∞使得，所以；因为有x→2使得x-2→0，所以.

【例1】　求下列极限：

（3）令u=arcsin x，则x=sin u因为x→0使得u→0，所以

思考：第一重要极限的特征是什么？何时用第一重要极限求极限？

2.第二重要极限

是“1∞”型的未定式极限，由表1.4.2及图1.4.2，根据单调有界准则可以看出，

由于（其中x→a⇒f（x）→0）等价，所以第二重要极限的模型是：（其中x→a⇒f（x）→0）.

【例2】　求下列极限：

【例3】　求

解　它是“”型未定式极限，令aΔx-1=t，则Δx=loga（1+t），由于Δx→0时，t→0，

思考：第二重要极限的特征是什么？何时用第二重要极限求极限？

注意

计算未定型极限，思想相同，方法不同.利用在第3章中介绍的洛必达法则，求解未定型极限更方便.