2.3 隶属函数
2.3.1 隶属函数的特点
普通集合用特征函数来表示，模糊集合用隶属函数来描述。隶属函数很好地描述了事物的模糊性。隶属函数有以下两个特点。
（1）隶属函数的值域为[0，1]，它将普通集合只能取0，1两个值，推广到[0，1]闭区间上连续取值。隶属函数的值μA（x）越接近于1，表示元素x属于模糊集合A的程度越大。反之，μA（x）越接近于0，表示元素x属于模糊集合A的程度越小。
（2）隶属函数完全刻画了模糊集合，隶属函数是模糊数学的基本概念，不同的隶属函数所描述的模糊集合也不同。
2.3.2 几种典型的隶属函数及其MATLAB表示
典型的隶属函数有11种，即双S形隶属函数、联合高斯型隶属函数、高斯型隶属函数、广义钟形隶属函数、∏形隶属函数、双S形乘积隶属函数、S状隶属函数、S形隶属函数、梯形隶属函数、三角形隶属函数、Z形隶属函数。
在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下6种。
（1）高斯型隶属函数。
高斯型隶属函数由两个参数σ和c确定
其中，参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。MATLAB表示为gaussmf（x，[σ，c]）。
（2）广义钟型隶属函数。
广义钟型隶属函数由3个参数a、b和c确定
其中，参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。MATLAB表示为gbellmf（x，[a，b，c]）。
（3）S形隶属函数。
S形函数sigmf（x，[a c]）由参数a和c决定
其中，参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。MATLAB表示为sigmf（x，[a，c]）。
（4）梯形隶属函数。
梯形曲线由4个参数a、b、c和d确定
其中，参数a和d确定梯形的“脚”，参数b和c确定梯形的“肩膀”。MATLAB表示为trapmf（x，[a，b，c，d]）。
（5）三角形隶属函数。
三角形曲线的形状由3个参数a、b和c确定
其中，参数a和c确定三角形的“脚”，参数b确定三角形的“峰”。MATLAB表示为trimf（x，[a，b，c]）。
（6）Z形隶属函数。
这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。MATLAB表示为zmf（x，[a，b]）。
例2.5 针对上述描述的6种隶属函数进行仿真。x∈[0，10]，M为隶属函数的类型，其中M=1为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数，M=3为S形隶属函数，M=4为梯形隶属函数，M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。
仿真程序见chap2_2.m，仿真结果如图2.2~图2.8所示。
图2.2 高斯型隶属函数（M=1）
图2.3 广义钟形隶属函数（M=2）
图2.4 S形隶属函数（M=3）
图2.5 梯形隶属函数（M=4）
图2.6 三角形隶属函数（M=5）
图2.7 Z形隶属函数（M=6）
图2.8 三角形隶属函数
仿真程序：chap2_2.m
2.3.3 模糊系统的设计
根据参数的变化范围，通过设定模糊集和隶属函数来进行参数的模糊化。针对变量x，变化范围为[-3，3]，设定3个模糊集（负、零、正），采用三角形隶属函数进行模糊化，可建立一个模糊系统，该模糊系统设计程序见chap2_3.m，仿真结果如图2.8所示。
同理，针对变量x，变化范围为[-3，3]，设定七个模糊集（负大，负中，负小，零，正小，正中，正大），采用三角形隶属函数进行模糊化，可建立一个模糊系统，该模糊系统设计程序见chap2_3.m，仿真结果如图2.9所示。
图2.9 由三角形隶属函数构成的模糊系统
仿真程序：chap2_3.m
%Define N+1 triangle membership function
clear all;
close all;
N=6;
x=-3:0.01:3;
for i=1:N+1
f(i)=-3+6/N*(i-1);
end
u=trimf(x,[f(1),f(1),f(2)]);
figure(1);
plot(x,u);
for j=2:N
u=trimf(x,[f(j-1),f(j),f(j+1)]);
hold on;
plot(x,u);
end
u=trimf(x,[f(N),f(N+1),f(N+1)]);
hold on;
plot(x,u);
xlabel('x)';
ylabel('Degree of membership');
2.3.4 隶属函数的确定方法
隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。通常的方法是初步确定粗略的隶属函数，然后通过学习和实践来不断地调整和完善。遵照这一原则的隶属函数选择方法有以下几种。
（1）模糊统计法。
根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度，即
（2）主观经验法。
当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度，这种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。
（3）神经网络法。
利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的值。