马克思的社会再生产平衡增长的图解法

陶为群⁽¹⁾

（中国人民银行南京分行）

一、马克思的社会再生产形成平衡增长的资本积累的必要条件

按照马克思社会再生产理论，社会生产部门划分成生产生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ、Ⅱ部类。第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在t年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为，，和都是每年周转一次；带来剩余价值。第j部类产品当中消耗的不变资本对于可变资本的固定不变倍数h_i表示该部类的资本有机构成。剩余价值与可变资本之间保持固定不变的比率，以e_j表示，是第j部类的剩余价值率。以，分别表示第j部类新创造价值、总产值，那么按照经典的马克思再生产公式，在每个部类内部，不变资本、可变资本、剩余产品、新创造价值（产品）、总产值（产品）之间的关系被下面的定义方程所确定。

对确定了含义的字母前面加符号Δ表示在当年再生产过程中所形成的增量，以表示第j部类投资者把本部类的剩余价值中用于个人消费的部分。由于剩余价值是形成本部类的新增资本和企业所有者的剩余价值消费的唯一来源，所以有剩余价值使用的行为方程：

根据定义方程式（1）也形成另一个剩余价值使用的行为方程：

实现社会再生产需要两大部类之间完成产品交换，所以存在众所周知的产品交换方程：

将剩余价值使用的行为方程式（2）和式（3）代入产品交换方程式（4），得到下面的社会再生产的不变资本积累平衡方程。

第j部类对于生产资料的需求由不变资本和资本积累两个方面产生，其中由不变资本产生的生产资料需求是既定的，由资本积累产生的是。在第j部类或者分部类把剩余价值全部用作资本积累的情形下，该部类或者分部类由资本积累产生的生产资料需求最大，是占剩余价值的比重h_j/（1+h_j）；而在把剩余价值全部用作投资者个人消费也就是没有资本积累的情形下，由资本积累产生的生产资料需求最小，为零。所以第j部类或者分部类由资本积累产生的生产资料需求介于最大、最小需求之间。是

扩大再生产是在至少每个部类的不变资本都不减少的前提下，社会总不变资本扩大，也就是，至少有一个大于零。根据这一点，并将式（6）取j=Ⅰ、Ⅱ相加，代入不变资本积累平衡方程式（5），得到社会扩大再生产的必要条件：

由于根据定义方程式（1），每个部类内部各构成部分之间保持固定不变关系，所以当社会再生产平衡增长，则两大部类不变资本也平衡增长。有：

从式（8）并根据每个部类内部各构成部分之间保持固定不变关系，解得使社会再生产平衡增长的第Ⅱ部类不变资本积累，是第Ⅰ部类不变资本积累的函数：

根据定义方程式（1），第j部类资本利润率是，式（9）中：

经济含义是第Ⅱ部类利润率与第Ⅰ部类利润率之间的比值。将式（6）取j=Ⅱ代入式（9），得到：

式（6）取j=Ⅰ代入式（9），得到：

将式（6）与式（11）、式（12）结合起来，得到社会再生产平衡增长的两大部类不变资本积：

将式（13）中的两个不等式相加代入不变资本积累平衡方程式（5），并且与式（7）中的前一个小于号连接，得到社会再生产形成平衡增长的资本积累需要具备的必要条件是：

根据资本积累平衡方程式（5）和式（13），共同确定两个部类不变资本积累的限定区间是：

二、在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类条件下社会再生产平衡增长的图解法

社会再生产平衡增长需要确定两个部类的不变资本积累和，可以分别以决策变量，作为横、纵坐标，建立平面直角坐标系，运用平面解析几何方法获得扩大再生产公式的解。

在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类即的条件下，。根据对于两个部类的不变资本积累的约束条件式（12），的取值范围具体是局限在由两条直线和与两个坐标轴围成的矩形区域内；根据资本积累平衡方程式（5）还要剔除坐标系的原点（对应着社会简单再生产）。一方面，资本积累平衡方程式（5）表示与两个坐标轴围成一个45°等腰三角形的底边的直线，社会扩大再生产的解都是这条直线上的点。对于社会再生产中的状态变量取不同值的情形，可以看作是这条直线随着参数取不同的值，可以在上述矩形区域内上、下平行移动；社会再生产平衡增长的解只能是这条直线取值越大上移的位置就越高，社会再生产平衡增长的解只能是这条直线处于这个矩形区域内的那一部分线段；根据社会再生产平衡增长的必要条件式（13），这条直线在上述矩形区域内平行移动的最高位置不能够超过这个矩形的右上顶点。另一方面，社会再生产平衡增长的两大部类不变资本积累方程式（9）代表连接坐标系的原点和这个矩形的右上顶点的一条直线。这条直线与资本积累平衡方程式（5）表示的那条直线的相交点是，这个交点把资本积累平衡方程式（5）表示的直线处于上述矩形区域内的那一部分线段分割成两段；交点横坐标、纵坐标分别代表社会再生产平衡增长的第Ⅰ部类、第Ⅱ部类不变资本积累。

在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类条件下社会再生产平衡增长由图1给出。根据图解法，很容易确定交点的横坐标、纵坐标是：

将式（17）代入剩余价值使用的行为方程式（3），就得到社会再生产平衡增长的两个部类可变资本积累；再将这些结果代入剩余价值使用的行为方程式（2），就得到两个部类的投资者剩余价值中个人消费。于是就获得社会再生产平衡增长的完整的解。因为只要具备社会再生产平衡增长的必要条件式（14）就获得了交点，于是证明了在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类的条件下，社会再生产平衡增长的必要条件式（13）是平衡增长的充分条件，所以是充分必要条件。

在第Ⅰ部类资本利润率低于第Ⅱ部类即的条件下，图1中的矩形区域加上用虚线添加的矩形区域，是式（6）所表示的区域，也就是实现社会扩大再生产的两个部类不变资本积累的可能区域。这个区域大于由式（13）表示的形成社会再生产平衡增长的两个部类不变资本积累的可能区域，直观明确地表示出形成社会再生产平衡增长的两个部类不变资本积累的条件比实现社会扩大再生产的条件严格。原因在于，形成社会再生产平衡增长的两个部类不变资本积累是以实现社会扩大再生产为前提，所以条件会严格一些。

三、在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类条件下社会再生产平衡增长的图解法

在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，u^*<1。根据对于两个部类的不变资本积累的约束条件式（13），的取值范围具体是局限在由两条直线和与两个坐标轴围成的矩形区域内。社会再生产平衡增长的两大部类不变资本积累方程式（9）代表连接坐标系的原点和这个矩形右上顶点的一条直线。而资本积累平衡方程式（5）表示的直线与在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类条件下完全相同。这两条直线的相交点是，交点横坐标、纵坐标分别代表社会再生产平衡增长的第Ⅰ部类、第Ⅱ部类不变资本积累。如图2所示，根据图解法，很容易确定交点的横坐标、纵坐标同样是式（17），但是这个交点的位置与在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类条件下不同。

运用图解法求解也证明了在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，式（14）是社会再生产平衡增长的充分条件，所以是充分必要条件。

在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类即的条件下，图2中的矩形区域加上用虚线添加的矩形区域，是式（6）所表示的区域，也就是实现社会扩大再生产的两个部类不变资本积累的可能区域。这个区域大于由式（12）表示的形成社会再生产平衡增长的两个部类不变资本积累的可能区域，同样直观明确地表示出形成社会再生产平衡增长的两个部类不变资本积累的条件比实现社会扩大再生产的条件严格。同样的缘由在于，形成社会再生产平衡增长的两个部类不变资本积累是以实现社会扩大再生产为前提。

在第Ⅰ部类资本利润率不高于、高于第Ⅱ部类的条件下，运用图解法得到的社会再生产平衡增长的解以及证明的形成社会再生产平衡增长的两个部类不变资本积累的充分必要条件，都和已经有研究给出的社会再生产平衡增长的解以及相应的充分必要条件完全一致。

四、社会再生产平衡增长的增长率经济含义

全社会的不变资本增长率是，所以根据资本积累平衡方程式（5），可以确定社会再生产平衡增长的全社会的不变资本增长率是：

我们知道，在物质形态上是生产资料。有研究指出，在物质形态上根是扩大再生产的生产资料总供给，是可用于两个部类不变资本积累的全部生产资料⁽²⁾。所以从物质形态上看，全社会的不变资本增长率当然就是当年可用于两个部类不变资本积累的全部生产资料对于年初全社会的生产资料的比率。从价值形态上看，根据式（16）全社会的不变资本增长率的经济含义是：生产资料部类的可变资本加剩余价值与消费资料部类的不变资本之差对于全社会的不变资本的比率。

当社会再生产平衡增长时，两个部类不变资本增长率相同；而全社会的不变资本增长率是两个部类不变资本增长率的加权平均数，因此与每个部类的不变资本增长率相同。所以当社会再生产平衡增长时，全社会的不变资本增长率也就是每个部类的不变资本增长率。可以对此加以验证。将定义方程式（1）表示的每个部类内部总产值各构成部分之间的固定不变关系以及的表达式式（10）代入平衡增长的每个部类不变资本积累式（17），得到当社会再生产平衡增长时，各部类的不变资本积累与不变资本之间的关系式：

式（19）验证了当社会再生产平衡增长时，全社会的不变资本增长率也就是每个部类的不变资本增长率，两个部类不变资本增长率相同。

由于每个部类内部总产值各构成部分之间的关系固定不变，所以当社会再生产平衡增长时，式（18）也表示每个部类以及全社会的可变资本、剩余价值、新创造价值、总产值增长率。

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(1) 陶为群，中国人民银行南京分行研究员，主要从事马克思主义经济学研究。

(2) 陶为群，陶川．马克思经济增长模型中的特征值及其理论蕴含［J］．经济评论，2011（3）．