1.3 随机变量与分布函数

随机变量：通常用一个变量符号X来表示每次随机试验中的变量值，变量被称为随机变量。

分布函数：已知一个随机变量X，它的值域为小于等于x的事件A的概率函数，记为P{X≤x}，则随机变量X的分布函数F（x）为：

F（x）=P{X≤x}，（-∞<x<∞）

分布函数的性质如下所示。

1）分布函数的极限性：；

2）分布函数的单调性：∵x1<x2，∴F（x1）≤F（x2）；

3）分布函数的区间表示：P{a<X≤b}=F（b）-F（a）。

离散型随机变量：如果随机变量可以表现为有限个可列举的数值：x1，x2，…，xn，则称之为离散型随机变量。

连续形随机变量：如果随机变量X可以取实数数轴上的某个区间内的任意一点，则称之为连续型随机变量。

概率的数学期望：期望（Expectation）或均值（Mean），指的是每次试验可能出现的结果的概率值乘以它每次结果的数值得到的总和。用来反映样本的平均取值。

离散型随机变量的数学期望：假设离散随机变量X={X1，X2，…，Xn}，它的概率值为P（X1），P（X2），…，P（Xn），则它的期望为E（X）：

连续型随机变量的数学期望：如果连续型随机变量X的密度函数为f（x），则连续型随机变量X的期望值E（X）为：

概率的方差：随机变量（X-E（X））2的数学期望叫作随机变量X的方差，方差是用来描述随机变量的值所偏离它期望值的程度。

D（X）=E（（X-E（X））2）

=E（X2）-E2（X）

概率的标注差：随机变量X的标注差是方差的平方根，也是用来描述变量的值和均值之间离散程度的一个数值。

期望和方差的性质：假设C为常数，X，Y是独立的随机变量。

1）E（CX）=CE（X）；

2）E（X±Y）=E（X）±E（Y）；

3）E（XY）=E（X）E（Y）；

4）D（CX）=C2D（X）；

5）D（X±Y）=D（X）±D（Y）；

6）E（C）=C；

7）D（C）=0；

8）D（X）=E（X2）-（E（X））2。