2.2.2　反函数的求导法则

定理2　如果函数x=f（y）在区间Iy内单调、可导且f′（y）≠0，则它的反函数y=f-1（x）在区间Ix={x|x=f（y），y∈Iy}内也可导，且

证　由于x=f（y）在区间Iy内单调，故其反函数y=f-1（x）在区间Ix存在、单调且连续，因此，对于任何x∈Ix，当Δx≠0时，

Δy=f-1（x+Δx）-f-1（x）≠0，

从而

由于x=f（y）与y=f-1（x）的连续性，即Δx→0时，Δy→0，因此

例7　求y=arcsinx的导数.

解　设x=siny，，其反函数为y=arcsinx，由公式

又由于，因此

类似可得

例8　求y=arctanx的导数.

解　设x=tany，，其反函数为y=arctanx，由公式

又由于sec2y=1+tan2y=1+x2，因此

类似可得

例9　求y=logax的导数.

解　x=ay与y=logax互为反函数，因此