3.4课后习题全解

1.已知随机变量X的概率分布是

　　问X的数学期望是否存在？

解：因当n→∞时，该值为1，故符合离散型随机变量的分布列。

但由于不为定值，故X的数学期望不存在。

2.设随机变量X的概率分布是

有人求得EX=-ln2，做法如下：

因为

令x=1，得

而

这个做法对不对？为什么？

解：这个做法不对。

因当n→∞时，该值为1，故符合离散型随机变量的分布列。

又因

而

故随机变量X的数学期望为-ln2。

3.设随机变量X服从几何分布。

P（X=k）=p （0<p<1，q=1-p，k=1，2，…），试求EX。

解：由P（X=k）=qk-1 p，知EX=p+2pq+3q2 p+…kqk-1 p+…=（1+2q+3q2+…+kqk-1+…）p

令Sk=1+2q+3q2+…+kqk-1，那么qSk=q+2q2+…+（k-1）qk-1+kqk

两式相减，得

（1-q）Sk=1+q+q2+…+qk-1-kqk

由0<p<1，知0<q<1，则故

从而

4.已知随机变量X的分布密度是

试求EX。

解：

5.已知试求EX。

解：

6.对圆的直径进行测量，设测得数值均匀分布在区间[a，b]内，试求直径的数学期望及圆面积的数学期望。

解：（1）直径的数学期望

（2）圆面积的数学期望

7.已知随机变量X的分布密度是

试求：

（1）Y=2X的数学期望

（2）Y=e-2 x的数学期望

解：（1）

（2）

8.已知X～N（0，σ2），试求Y1=3X+5及Y2=|X|的数学期望。

解：E（Y1）=E（3X+5）=3E（X）+5=0+5=5

采用分段积分的方法

9.设随机变量X的概率分布是

试求EX和E|X|3。

解：EX=-3×0.1+0×0.2+3×0.3+5×0.4=2.6

E|X|3=27×0.1+0×0.2+27×0.3+125×0.4=27×0.4+125×0.4=10.8+50=60.8

10.对球的直径作近似测量，设其均匀分布在区间[a，b]内，求球体积的均值。

解：

11.设X～N（0，σ2），求E（Xn）。

解：当n=1时，E（X）=0

当n=2时，

　　　　　　　=σ2

当n=3时，

当n=4时，

当

　　　　　　=4σ2×E（X3）=4σ2×0=0

依据数学归纳法：当n为奇数时，E（Xn）=0；当n为偶数时，E（Xn）=（n-1）σn

12.已知随机变量的概率分布是

试求X的方差。

解：EX=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.8+0+0.6=-0.2

DX=（-2+0.2）2×0.4+（0+0.2）2×0.3+（2+0.2）2×0.3=3.24×0.4+0.04×0.3+4.84×0.3

        =1.296+1.464=2.76

13.已知p（X=k）=（k=2，4，6，8，10，…，20），试求EX和DX。

解：EX=2×+4×+6×+…+20×=×（2+4+6+…+20）=11

E（X2）=4×+16×+36×+…+400×=×（4+16+36+…+400）=154

DX=E（X2）-（EX）2=154-112=33

14.已知随机变量X的分布密度是

试求：

（1）常数C

（2）EX和DX

解：（1）根据

（2）

令

DX=E（X2）-（EX）2=18-9=9

15.已知随机变量X的分布密度是

试求X的均值和方差。

解：（1）利用换元法令x=sint，dx=costdt，

故

（2）利用换元法令x=sint，dx=costdt，

故

故D（X）=E（X2）-（EX）2=0.5

16.设随机变量X服从瑞利（Reyleigh）分布，其分布密度是

试求X的数学期望和方差。

解：　

17.设随机变量X服从正态分布N（2，5），试求Y=5-2X的数学期望和方差。

解：EY=E（5-2X）=5-2×2=1

DY=D（5-2X）=0+4×5=20

18.设随机变量X服从拉普拉斯（Laplace）分布，其分布密度是

试求X的数学期望和方差。

解：（1）

（2）

=β2+2α2

故DX=E（X2）-（EX）2= β2+2α2-β2=2α2

19.设随机变量X服从马克斯威尔（Maxwell）分布，其分布密度是

试求X的数学期望和方差。

解：（1）

（2）

20.已知Xi～N（0，1）（i=1，2，3），，试求随机变量X的数学期望。

解：（此题可参见教材第75页例3.7，涉及分部积分的方法）

故E（X） =E（++）=E（）+E（）+E（）=1+1+1=3

21.已知DX=25，DY=36，ρxy=0.4，试求D（X+Y）及D（X-Y）。

解：D（X+Y）=DX+DY+2Cov（X，Y）=25+36+2ρxy=61+2×0.4×5×6=85

D（X-Y）=DX+DY-2Cov（X，Y）=61-2×0.4×5×6=61-24=37

22.已知二维随机变量（X，Y）的联合分布密度是

证明X与Y既不相关，也不独立。

证明：

即X与Y不相关。

即X与Y不独立。

23.已知二维随机变量（X，Y）的联合分布密度是

试求X和Y的相关系数ρxy。

解：（此题参见教材第87页例3.11）

24.如果随机变量X1，X2，X3相互独立且已知DX1=25，DX2=144，DX3=81。设随机变量X=X1+X2，随机变量Y=X2+X3，试求X与Y的相关系数。

解：DX=D（X1+X2）=D（X1）+D（X2）=169

DY=D（X2+X3）=D（X2）+D（X3）=225

Cov（X，Y）=Cov（X1+X2，X2+X3）

=E

=E[（X1+X2）（X2+X3）-（X1+X2）E（X2+X3）-（X2+X3）E（X1+X2）+E（X1+X2）E（X2+X3）

=E（X1 X2+X1 X3++X2 X3）-E（X1+X2）E（X2+X3）-E（X2+X3）E（X1+X2）+E（X1+X2）E（X2+X3）

=E（X1X2+X1X3++X2X3）-E（X1+X2）E（X2+X3）

=0

故

25.设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，都服从正态分布N（μ，σ2），试求n维随机变量（X1，X2，…，Xn）的联合分布密度。如果随机变量，试求Y的数学期望和方差。

解：（1）联合分布密度参见教材第90页。

（2）