§1 农业文明的孪生姐妹——常量数学

1.1 巴比伦和古埃及的数学文化

1.1.1 巴比伦的数学文化

1．历史背景

据现有资料，巴比伦人首先对数学做出了贡献。巴比伦地处西南亚的底格里斯河和幼发拉底河之间，这块地方古代叫美索不达米亚，是今日伊拉克的一部分。

约公元前4000年，这里居住着以苏美尔人和阿卡德人为主的民族，他们相继创造了西亚上古时期的文明。剽悍的游牧民族在血腥的激烈生存斗争中夺取城池和土地，建立一个个城邦，使两河文明成为人类历史上最辉煌的文明，其中巴比伦人的成就最显著，所以两河文明也叫巴比伦文明。早在公元前4000年左右，苏美尔人就有了楔形文字；到汉谟拉比（公元前1792-前1750）统治时期，巴比伦达到全盛阶段，此后又经历了亚述帝国和新巴比伦王国时期；公元前330年，巴比伦被马其顿帝国国王亚历山大征服。

在巴比伦的文明中，雄伟的城垣和壮丽的宫殿充分显示了古代两河流域的建筑水平和文化水平。尼布甲尼撒二世（公元前604-前562）时期，巴比伦城是当时最繁华的城市，也是中东最重要的工商业城市。被列为古代世界七大奇迹之一的巴比伦“空中花园”，亦称“悬苑”，依偎在幼发拉底河畔，国王尼布甲尼撒二世主持建造了这座名园。

公元前18世纪，古巴比伦王朝的汉谟拉比统治时期（公元前1792—前1750）编纂了一部法典，史称《汉谟拉比法典》。这或许是人类社会有史以来的第一部法典，将楔性文字和人像浮雕刻在一根2.25米高的石柱上。这部法典堪称人类社会法典领域的开先河之作。

我们对巴比伦文明和数学知识的认识，无论是其古代的或较近期的，都来自它的泥板文书。这些泥板是在胶泥尚软时刻上文字（楔形文字），然后烘干的，因而较树皮、羊皮之类的东西容易保存。这也是巴比伦古文明得以保存至今的主要原因。那时的官府和寺庙里都藏有很多这种泥板书，现在我们还能看到的大约有3万多块。这种文字对科学文化的交流与传播起了极其重大的作用。

巴比伦时期，口述和笔录的神话传说，成了宗教神话的衍生物，并为世界其他宗教的创立和立论奠定了基础。同时，巴比伦还盛行星宿崇拜，观测天象（制定历法、预报农时）、预测吉凶的习俗促进了天文学的发展，由此天文学引领了包括数学在内的其他学科的建立和繁荣。作为人类古代文明的重要分支，西亚地区的两河文明，曾与古埃及文明比肩齐辉。

2．学校教育

巴比伦创造了人类最早的文化和文明，其教育也早于其他国家。甚至可以说，它早于埃及，至少是与埃及约在同时有了学校。这是人类最初的学校教育摇篮，其中包括数学教育，也是人类正式教育的起点。

两河流域的学校不同于后来古希腊的学校，其所谓高深知识也是侧重应用价值，而不是面向理论探索。这反映了在数学发展的初期，数学文化对社会文化的依附性和从属性。公元前2000年的智慧之家（the House of Wisdom）是两河流域实施高水平教学的场所，入学者是已毕业的文士，主要从事高水平的研究工作。

3．记数符号

巴比伦文化发展中程度最高的算术是阿卡德人的算术。巴比伦数系以60为基底的位值制并采用进位记号，但由于没有明确的符号表示零，所以数的意义是不确定的。另外，他们也有表示分数的一套方法。

4．算术运算

从泥板文书可以看出巴比伦人已会做加减乘除四则运算。加减法就是把符号合写在一起或去掉一些符号。为了乘法计算方便，他们编制了1×1到60×60的乘法表；除法采取与倒数相乘的方法，而整数的倒数可编成表，化为有限位的六十进制“小数”。

除此之外，巴比伦人还借助数表进行平方、立方、开平方、开立方的运算。例如，有一张形为n3+n2的数表，其用途应该是为了解x3+x2=a这类三次方程；被表示为；在一个相当于求长为a、宽为b的矩形对角线d的长度时，他们相当于用了近似公式，从现代观点来看，当a＞b时，这一公式是合理的。

5．代数知识

巴比伦用象形文字来表示抽象概念的代数语言。早期巴比伦代数的一个基本问题是求一个数，使它与它的倒数之和等于已给数。用现代符号来记，即为求解关于x的一元二次方程x2-bx+1=0，解出答案：

当出现负根时，他们略而不提。

带有一般性的问题是：给定矩形的周长和面积，试求长和宽。这相当于求解方程组x+y=a, xy=b。巴比伦人只说明求解步骤，不讲为什么。另外，他们还利用特殊方法（如列表）解出了特殊的三次、四次方程，多元线性方程组，指数方程等。

6．几何知识

几何在巴比伦是无足轻重的，也没有形成一门独立的学科。他们只是给出了简单几何图形面积的经验公式及棱柱和圆柱的体积公式，懂得比例线段，曾求过矩形对角线的长度，熟悉等分圆周，取圆周率π为3，知道直角三角形的三边关系，给出了几组整勾股数。他们总是在解决实际问题时才搞几何，而不专门研究几何。

把圆周分为360°的方法，是巴比伦天文学家在公元前最后一个世纪里首创的。这不一定与他们用60作为基底相干，但60却用来作为把度分成分和把分分成秒的底数。这对世界数学文化影响很大，因为古希腊天文学家托勒密也沿用了这种分法，并一直沿用到今天。

巴比伦的算术和代数步骤以及几何法则都是依据物理事实、边试边改以及从直观认识得出的结果。他们只是为了农业文明发展的需要才研究数学，其研究的程度以满足当时社会需要为准。他们既没有一般法则，也无证明，更不可能对问题的解进行讨论。逻辑思维和理论概括对巴比伦人来说还是陌生的，但他们的实践恰恰反映了数学的真正来源与数学创造的基本方法。

1.1.2 古埃及的数学文化

1．历史背景

古埃及的国土分布在尼罗河周围的狭长地带。古代埃及人生活在尼罗河中下游的主要河谷地带。尼罗河把南方的水一年一度地泛滥到沿河两岸之后留下沃土，然后，他们重新丈量土地，再实施耕种。因为这个国家的其余部分是沙漠，所以他们的大多数人自古以来就一直靠耕种这片沃土谋生。在今日埃及这块土地上，古代有两个王国，一个在南方（即上埃及），一个在北方（即下埃及）。约在公元前3500年至前3000年之际，一个叫Menas的统治者统一了上、下埃及。嗣后，埃及历史的主要时期就按统治者的朝代来命名，共分31个王朝。

古埃及的居民是由北非的土著居民和来自西亚的塞姆人融合形成的，公元前4000年后，逐渐形成国家，在十八王朝时（公元前15世纪）达到鼎盛，南部尼罗河河谷地带的上埃及领域有现在的苏丹到埃塞俄比亚，而北部三角洲地区的下埃及除了现在的埃及和部分利比亚以外，其东部边界越过西奈半岛直达迦南平原。古埃及有自己的象形文字系统、完善的政治体系和多神信仰的宗教系统，其统治者称为法老，因此又称为法老时代或法老埃及。

至今闻名的金字塔就是埃及文明的象征。公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构可知，当时埃及人已懂得不少天文和几何知识，如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。

在公元前332年亚历山大征服它之后，埃及文明一直按照它自己的道路延续着。但在公元前30年，罗马帝国屋大维攻占了埃及，托勒密王朝覆灭，于是埃及并入罗马帝国。这就是通常所说的历史三千多年的法老王朝。395年，罗马帝国被分成东、西两部分，埃及属东罗马帝国，继续归新罗马的皇帝管辖。640年，埃及被阿拉伯人占领，随之开始伊斯兰化。

埃及文明源自何处至今未知，但可以肯定地说，在公元前4000年以前就已经存在了。与流行的说法相反，古代埃及的数学并没有达到巴比伦数学那样的水平。这主要有以下两个原因：首先，巴比伦地处许多大型商队的必经之地，而埃及则与外界接触较少；其次，尼罗河泛滥之后很平静，用不着像不稳定的底格里斯河和幼发拉底河那样必须施以巨大的工程加以精心管理。这就使巴比伦的经济较埃及发展得快。

埃及是古代历史研究的最丰富的宝库之一。埃及人对他们的死者怀有十分崇敬的心情，使得他们修建了经得起时间考验的坟墓和庙宇，其壁画与雕刻也丰富多彩；这个地区的气候异常干燥，因此能保存许多纸草片，在实物方面起了主要作用。这就为我们研究埃及数学提供了可靠的资料。

我们现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的莎草书：一卷藏在伦敦大英博物馆，包含85个问题，叫莱因德莎草书，是英国收藏家莱因德于1858年发现的；一卷藏在莫斯科美术博物馆，包含25个问题，叫莫斯科莎草书，是俄国学者郭列尼舍夫于1893年发现的。埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷莎草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷莎草书的年代在公元前1850—前1650年，大约相当于中国的夏代。

2．人类最早的太阳历

古埃及是一个农业国，埃及人为了促进农业生产的发展，必须注意尼罗河的泛滥周期和观测天象。在实践中，积累了许多天文知识。他们注意到天狼星和太阳同时出没之时，就是尼罗河洪水将至之兆，并把天狼星的两个清晨上升的间隔当作一年，它包含365天。早在公元前4000年时，埃及人就已经把1年确定为365天，全年分成12个月，每月30天，余下的5天作为节日之用；同时还把一年分为3季，即泛滥季、播种季和收割季，每季4个月。由此可见，古埃及创造了人类历史上最早的太阳历。但古埃及的这种历法并不精确，因为1个天文年大约是365.25日，所以古埃及历每隔4年便比天文历落后1天。然而在那个时代，它却是最佳的历法。埃及人还观察到当尼罗河开始泛滥时，天狼星清晨正好出现在古埃及的地平线上，于是古埃及人将这一天定为一年的第一天。天文观测和历法计算为数学的发展提供了动力。

3．建筑与数学

大约在公元前3000年，埃及人就建造了著名的金字塔。金字塔的四面正对着东南西北四个方向。胡夫大金字塔的北面有隧道，可以进入金字塔的中心部位，由那儿眺望北方夜空，北极星正好映入眼帘。哈夫拉金字塔王殿内南北方位有两个通气孔。北通气孔指向当时猎户星座的Zeta星。另外，狮身人面像在春分日和秋分日这两天它的正面永远都正对着太阳升起的地方，千万年不变。这类的实际建筑，推动了埃及数学计算的发展。

4．记数符号

约在公元前4000年，埃及就用象形文字记数码1、10、100、1000、1000000，其他的数用这些数字的组合来表示，从右往左写，大的写在右边，依次写小的。这些数字的和就是所要表示的数。

古埃及的记数法是以十为基底的，但不是位值制。这就造成了记数的困难，对算术和代数的发展也是很不利的。

5．算术与代数

古埃及人的算术主要是叠加法，加减法只是添上或划掉一些记号；乘除法也是化成叠加步骤来做的。如12×6，古埃及人做法如下：

有了2×12=24,4×12=48，把24和48相加即得12×6。

古埃及数学中分数的记法与运算比我们今日的要复杂，除了几个特殊的分数外，所有的分数都拆成单位分数（各分母互不相同）之和，并列成表，他们就用这个表进行分数的运算，如可表为。这种运算是十分复杂的。

Ahmes草片文书中有这样的问题：“一个数，它的，它的，它的，它的全部，加起来总共是33。”这是求一个未知量问题的解法，大体上相当于一元一次方程。不过用的方法纯粹是算术的。另外，埃及人还涉及简单的二次方程ax2=b、算术数列和几何数列的具体问题。

或许是由于古埃及的分数运算过于复杂的原因，古埃及人的算术和代数技能显然低于巴比伦人。他们的代数语言还没有产生，几乎没有方程的概念，处理类似方程问题时，用的是纯粹算术的方法。所有这些，埃及人是用文字叙述的，只告诉结论或得出解的步骤，没有说明为什么用这种方法。

6．几何知识

由于土地测量和房屋建筑的需要，埃及的几何较其算术和代数要发达。他们已经知道矩形、三角形和梯形面积的正确计算法，曾使用过任意四边形面积的近似公式（a, b和c, d分别是四边形的两组对边）、圆面积的近似公式（d为直径）等。在体积方面，给出了直棱柱体积的正确公式，截锥的近似公式（h为高，为平均周长），两底均为正方形的四棱台的体积公式。

在几何方面，古埃及人比巴比伦人更有才干。由于尼罗河的定期泛滥，古埃及人不得不重新丈量土地，正是这个原因，古埃及才第一次有了几何学，而希腊人又从他们那里学到了它。但古埃及人也没有得出理论结果，每一个具体问题都是以独立的形式来解决的，没有一般性结论，也没有证明。

1.1.3 简评

在巴比伦文明和古埃及文明中，我们发现有整数和分数的算术，包括进位制记数法；有初步的代数，有几何上的经验公式。所有这些在今天看来是微不足道的，但他们的这些创造，却是人类在数学发展史上迈出的最艰难的第一步，并直接影响了希腊数学的发展。

同时我们也看到，在这两种文明里，数学只是农业文明的附属品或副产品，还不能成为一门独立的学科。没有成套的符号，没有有意识的抽象思维，没有一般的方法和理论，更没有证明。他们的数学是简单而粗浅的，并不像过去经常有人宣称的那样包含着深刻的原理。只有到了希腊文明，才真正进入了数学的开创时期。

在巴比伦和古埃及，数学与绘画、建筑、宗教以及自然界之间有着紧密的联系，其密切性和重要性丝毫不逊色于数学在商业、农业等方面的应用。巴比伦和古埃及的祭司掌握了一些数学知识，但他们对这些知识秘而不宣。只用口头的方法传授，这在一定程度上限制了数学的发展。

宗教神秘主义对自然数的性质产生了好奇，并将数作为表达神秘主义思想的一个重要媒介。一般认为，巴比伦的祭司发明了这种有关数的神秘甚至魔幻的学说，后来又为希伯来人加以利用并发展了。比如数字7，巴比伦人最早注意到了，它是上帝的威力与复杂的自然界之间的一个和谐点，到了希伯来人手里，7又成为一个星期的天数。《圣经》里说，上帝用6天时间造物和人，第7天是休息天。

事实上，是人类层出不穷的需要和兴趣，加上对大自然的无法抑制的冥想，激发了人类自身的数学灵感和潜能。自然界本身也刚好存在数学的规律，即自然界是以数学的形式存在着的。这样一来，我们就更容易明白，为什么数学不仅来源于人们生存的需要，最终也还是要返回到这个世界中去的原因。

1.2 古希腊数学文化

1.2.1 历史背景

古希腊文明是欧洲文明的主要源头之一，其文明的起源可追溯到公元前2800年。古希腊位于地中海东部，扼欧、亚、非三洲要冲。古希腊不是一个国家的概念，而是一个地区的称谓，其位于欧洲南部，地中海的东北部，包括希腊半岛、爱琴海和爱奥尼亚海上的群岛和岛屿、土耳其西南沿岸、意大利西部和西西里岛东部沿岸地区。这里具有优良的自然条件，农业、手工业和航海事业比欧洲其他地方更早地得到了发展。在公元前775年左右，希腊人把他们用过的各种象形文字系统改换成腓尼基人的拼音字母。采用了拼音字母之后，希腊人变得更通文达理；公元前7世纪，古希腊人已经开始将草片当纸张，便更有能力来记载他们的历史和思想了。

古希腊人定居之后，便游访古埃及、巴比伦，并与之贸易往来。古典希腊著述中有许多地方都曾提到古埃及和巴比伦。小亚细亚爱奥尼亚地区的一个城市米利都是古希腊哲学、数学和科学的诞生地。米利都是临近地中海的一个富庶商业大城。公元前540年左右，爱奥尼亚地区落入波斯人之手，但仍允许米利都保持一些独立性。公元前479年，希腊人击败波斯后，爱奥尼亚又成为希腊领土，但此后文化活动的中心便移到希腊本土雅典。数学史上，通常把公元前600至前330年这一时期，称为古希腊数学的古典时期。

公元前3世纪，托勒密一世在亚历山大城建造了一个规模宏大的亚历山大大学（艺术宫）和一个大图书馆，聘请有名望的学者到这里从事数学研究。由于亚历山大城地处东西海陆交通的枢纽，而且数学是当时一切科学的核心，所以亚历山大城又成了数学的中心，从此开创了希腊数学的亚历山大时期，数学成就极其辉煌。

由于罗马人的入侵，在公元头几个世纪里，古希腊文明开始衰落，到640年最终被阿拉伯人摧毁。因此，古希腊数学一般指从公元前600年至公元640年间活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家所创造的数学。虽然古希腊继承了巴比伦和古埃及的一些传统，但并非完全因袭，而是在继承的基础上发展出了迥然不同的风格和体系。

在地理上，古希腊找不到肥沃的开阔平原，连绵不绝的山岭河川将陆地隔成小块。山岭沟壑，耕地缺乏，土地贫瘠，限制了粮食的生产，人地矛盾突出，迫使希腊从事海外贸易、海外殖民和经济文化交流。而曲折的海岸线，众多的优良港湾又为这些活动提供了条件。特殊的地中海气候使得古希腊盛产葡萄酒和橄榄油，为海外贸易提供了商品。正是这些原因，促成了古希腊宽松自由的社会环境、互利互惠的思想观念和开放探索的民族精神。

1.2.2 古希腊数学的古典时期（公元前600—前330）

古希腊数学的古典时期产生了几个著名的学派。

1．爱奥尼亚学派

爱奥尼亚学派因产生于爱奥尼亚而得名。学派的创始人是泰勒斯（约公元前600）。爱奥尼亚学派的哲学观点用一句话来总结就是“水生万物，万物复归于水”，认为世界本原是水。爱奥尼亚学派（也叫米利都学派），摆脱了宗教，欲从自然现象中去寻找真理，否认神是世界的创造者。

这个学派通过大胆的思索和猜想，试图从一切表面现象的千变万化中找到一种始终不变的东西，他们抛弃了古老的神话传说，打算用合理的解释代替诗人的想象和神秘的力量，敢于用人类的理智来面对宇宙。当然这种观点不是来源于细微的科学研究的结果，而是来自一系列大胆的思索、巧妙的猜测和敏锐的直观。尽管如此，爱奥尼亚学派的这种自然哲学也可算作理性主义的早期表现。

创始人泰勒斯是希腊第一个享有世界声誉的学者，他就出生在爱奥尼亚，被公认为西方思想史上第一个有记载、有名字留下来的思想家，希腊哲学的鼻祖，希腊科学之父，颇有威望。泰勒斯对数学有划时代的贡献。他是古希腊第一个几何学家，确立并证明了第一批几何定理。如直角都相等、对顶角相等；等腰三角形的底角相等；直径等分圆周、圆周角定理；如果两个三角形有一边及这边上的两角对应相等，那么这两个三角形全等。泰勒斯利用这些定理给出了一些不可达物体的距离，例如从岸上一点到海中一只船的距离。他还利用金字塔的影长测量金字塔的高度。传说他还预测了公元前585年5月28日的日食，并以此制止了一场战争。

某一年的春天，泰勒斯来到古埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能测出金字塔的高度。泰勒斯很有把握地说可以，但有一个条件——法老必须在场。第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的百姓。泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。没过一会儿，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻将大金字塔在地面的投影处作一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就给出了金字塔确切的高度。在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理。也就是今天所说的相似三角形定理。

泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想，并给出了人类历史上第一个数学证明。这种理性思维标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上和文化史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为毕达哥拉斯创立理性的数学奠定了基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。

2．毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯学派的创始人是毕达哥拉斯（约公元前580—前500）。毕达哥拉斯与中国的至圣先师孔子是同时代人，出生于小亚细亚半岛西边的萨摩斯岛（今土耳其西岸小岛），年轻时曾去过印度和巴比伦等地，在那些地方学习了数学和一些神秘主义的教条。后来，在意大利南端的克罗托内创建了一个兼有宗教、哲学和政治性质的秘密团体，致力于数学和哲学基础的探讨，数学史上称其为毕达哥拉斯学派。这个学派以“万物皆数（整数或整数比）”为基础，来研究数学和哲学，并把研究结果归功于学派的领袖，且常常秘而不宣。

在宇宙论方面，毕达哥拉斯继承了爱奥尼亚学派的相关理论并发展了自己有关数的理论。他认为存在着许多但有限个世界，并坚持大地是圆形的。毕达哥拉斯曾用数学研究乐律，而由此所产生的和谐的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。他还坚持数学论证必须从假设出发，开创了演绎逻辑思想，对后世数学的发展影响很大。

毕达哥拉斯学派从数学的角度，即数量上的矛盾关系列举出有限与无限、一与多、奇数与偶数、正方与长方、善与恶、明与暗、直与曲、左与右、阳与阴、动与静十对对立的范畴，其中有限与无限、一与多的对立是最基本的对立，并认为世界上一切事物均可还原为这十对对立。

最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性的结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。

毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。在毕达哥拉斯学派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把（除其本身以外）全部因数之和等于本身的数称为完全数（如6,28,496等），而将本身小于其因数之和的数称为盈数；将本身大于其因数之和的数称为亏数。

毕达哥拉斯很重视数学，并用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。他们从5个苹果、5个手指等事物中抽象出了5这个数。这在今天看来是很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，却是一个巨大的进步。在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。

毕达哥拉斯还通过说明数和物理现象间的联系，来进一步证明自己的理论。他从球形是最完美几何体的观点出发，认为大地是球形的，提出了太阳、月亮和行星做均匀圆运动的思想。他认为十是最完美的数，所以天上运动的发光体必然有十个。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派研究数学的特点之一是将算术和几何结合起来。他们发现了勾股定理、多边形数、黄金分割等，还证明了一些几何定理。他们把研究正整数理论的学问叫做算术，而把实用计算称为逻辑斯蒂（Logistic），认为后者是市井商贩们搞的玩意儿，不值得学者们研究。这种观点对希腊数学文化有着深远的影响，致使欧洲在15世纪末以前，一直将算术和实用计算相分离，并偏重抽象理论，轻视计算。

值得一提的是，在毕达哥拉斯定理提出后，其学派中一个叫希帕索斯的成员考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生。小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的哲学基础和数学信仰，不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，而且对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，因此西方数学史上将这一场大的风波称为“第一次数学危机”。

3．智者学派

公元前479年，雅典取得反抗波斯入侵的决定性胜利，使古希腊商务日益繁盛，首都雅典成了文人荟萃的中心。他们崇尚公开，经常出入群众的集会场所，发表应时的演讲，于是智者学派（亦称巧辩学派）应运而生。

智者学派是由活跃在古希腊各邦的一批职业教师、演说家、作家组成。“智者”原指古希腊的哲学人，后泛指有智慧、有能力、技艺超群的人。公元前5世纪后半叶，“智者”一词才获得了特殊的含义，成为以收费授徒为职业的一部分人的专有名称。这些职业教师适应社会民主政治活动的需要，在各种公共集会上，发表演说，回答人们提出的各种问题；向青年人传授辩论的艺术，即雄辩术。这在雅典的民主政治生活中是很重要的工具。智者们广招门徒，收取高额学费，向年轻人传授文法、修辞、辩证法。这三门课程，是雄辩教育的核心，被称为“前三艺”。除此之外，还教授数学、自然科学和音乐等。在数学上以安提丰（约公元前430年）为代表提出了尺规作图三大几何难题，对后来的数学影响很大（详见第3章）。

智者学派共同的思想特征是：相对主义、个人主义、感觉主义和怀疑主义。在智者看来，一切知识、真理和道德都是相对的，都有赖于具体的感知者。没有客观真理，只有主观意见。他们对自然哲学持怀疑态度，认为世界上没有绝对不变的真理，人才是衡量万物的尺度。

智者学派的教育活动对当时的民主政治生活起了很大的促进作用，而且在他们周游各邦的过程中，对传播文化、加强交流以及培养年轻人的思维能力都有重要的意义。这种与国家政治生活密切相关的雄辩教育对后来的古希腊教育以及今天西方某些国家的政治、教育等都有深刻的影响。智者学派在产生之初及前期的教育活动是受人称赞的，但到了后期，一部分智者蜕变为不授知识、以骗钱财为目的的江湖骗子。他们玩弄概念游戏、混淆是非、歪曲事实，因此名声日下，被人们称为“诡辩派”，受到人们的鄙视，失去了它原有的作用。但智者学派所创立的“前三艺”却被后世所继承，成为雄辩教育的主要内容。

4．埃利亚学派

埃利亚学派是古希腊最早的唯心主义哲学派别之一，因建立于南意大利半岛的埃利亚地区而得名。当时，意大利南部及西西里岛一带是古希腊的殖民地，经济落后，奴隶主贵族占统治地位。埃利亚学派正是在这一基础上产生的。它宣扬唯心主义和形而上学，为维护奴隶主贵族的反动统治服务。他们认为世界的本源是一种抽象存在，因此是永恒的、静止的，而外在世界是不真实的。这个学派与毕达哥拉斯学派的存世时间大致相当。他们在爱奥尼亚学派的基础上，提出了渐趋抽象而又精密的哲学理论。

随着古希腊工商业的发展以及奴隶主民主制的得势，这个学派逐渐衰落，到公元前5世纪中叶以后就崩溃了。埃利亚学派数学方面的主要人物是芝诺（约公元前496—前430）。

芝诺是埃利亚学派的集大成者，其诡辩术极其高超。芝诺主张永远不变的观点，他的哲学思想含有辩证法的因素，并提出了四个悖论，对学术界影响很大，至今余波未息。其中最著名的两个悖论是“飞矢不动”和“阿基利斯追不上乌龟”。

“飞矢不动”中的“矢”指的是弓箭中的箭，意思是说射出去的箭是不动的，是不能够到达另一个位置的。正常的射箭，任何人都知道，只要箭离了弦，就能飞出去，经过一段空间运动后到达另一个位置。但芝诺解释说：如果我们截取“飞矢”的每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是静止的，所以“飞矢”是“不动”的。

阿基利斯是古希腊的一个善跑者。“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论是说，虽然阿基利斯跑得很快，但是如果让乌龟先跑一步，阿基利斯就永远追不上乌龟。从常理来看，乌龟爬得很慢，阿基利斯很快就追上去了。而芝诺的解释是这样的：假设乌龟先跑出了一米，阿基利斯要追上乌龟，就必须先到达半米的地方。但是，当阿基利斯到达半米的时候，乌龟与阿基利斯的距离不是半米，而是半米再加一点，比方说是0.6米。以如此推论循环下去，只要乌龟不停下脚步，阿基利斯便永远只能更接近乌龟，而不能追上或超过乌龟。

“芝诺悖论”之所以被称为“悖论”，而他自己也被后世称为“诡辩论者”，是因为他的悖论完全违反常理，但是，人们又不知道如何才能反驳他。“飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。只要学过大学的高等数学，理解这个概念就非常容易。高等数学的一个基本运算手段就是牛顿、莱布尼茨创立的“微积分学”。微积分学分成微分和积分两部分。所谓“微分”就是把一个事物无限量地细分，“积分”就是将细分后的片断加起来。在微积分中有一个重要的概念叫做“无穷小”。无穷小的概念是：趋近于零，但不等于零。简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值，但不一定是零。

对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论，从理论上说，芝诺只做了“微分”，而没有做“积分”。同时，芝诺还偷换了概念。在前面提到的无穷小“dx”中，芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基利斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。换句话说，由于芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，因此得出悖论就很正常。而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。

5．原子论学派

原子论学派是公元前5世纪到前4世纪古希腊产生的学派。原子论学派的创始人是德谟克利特（约公元前460—前370）。他是古希腊的属地阿布德拉人，古希腊伟大的唯物主义哲学家，原子唯物论学说的创始人之一，率先提出原子论，并认为万物由原子构成。他通晓当时哲学的每一个分支，同时还是一个出色的音乐家、画家、雕塑家和诗人。他是古希腊杰出的全才，在古希腊思想史上占有很重要的地位。

在他们看来，万物的本原是原子和虚空。原子是不可再分的物质微粒，虚空是原子运动的场所。人们的认识是从事物中流射出来的原子形成的“影像”作用于人们的感官与心灵而产生的。

德谟克利特在数学上提出了圆锥体、棱锥体、球体等体积的计算方法。他对逻辑学的发展也做出了重要的贡献。德谟克利特的著作涉及自然哲学、逻辑学、认识论、伦理学、心理学、政治、法律、天文、地理、生物和医学等50多个学科，遗憾的是到今天大多数都散失或只剩下零散的残篇了。马克思赞美他是古希腊“第一个百科全书式的学者”。

原子论学派认为物质是均匀的、同质的，包含许多个不可分的小粒子，这些小粒子（指原子）永远处于运动状态之中，它们通过冲撞和重新组合而形成各种化合物。德谟克利特将原子观点应用于数学，认为线段、面积和立体是由有限个不可再分的原子构成的，计算体积就等于将这些原子集合起来。他计算了圆锥体或棱锥体的体积，第一个得出锥体体积是等底等高的柱体体积的1/3。原子论方法得到同时代和后继学者的赞赏，安提丰在求圆面积时发展了这种思想。阿基米德用严密的理论使其精确化。16世纪的开普勒在求圆面积时采用的方法，仍有原子论方法的遗风。

6．柏拉图学派

柏拉图学派的领袖人物是柏拉图（约公元前430—前349）。柏拉图是古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化中最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底、学生亚里士多德并被称为古希腊三贤。

柏拉图出生于雅典贵族家庭，年轻时曾师从苏格拉底。柏拉图在雅典创建了学园，潜心于哲学和数学的研究。传说他的学园门口写着：“不懂几何者不得入”，足见他对数学是十分重视的。柏拉图认为数学是打开宇宙之谜的钥匙，十分重视在数学研究中的抽象化定义与演绎推理。他对数学概念的刻画极其重视，坚持从公认的假定出发进行命题的演绎证明。这对欧几里得演绎公理体系的形成起了促进作用，但也产生了很大的副作用：希腊的实验科学和机械学受到哲学家的漠视，致使希腊数学畸形发展。

柏拉图曾到埃及、小亚细亚和意大利南部从事政治活动，企图实现他的贵族政治理想。在哲学上建立了欧洲哲学史上第一个庞大的客观唯心主义体系。公元前387年，在阿加德米体育馆附近设立了一所学园，此后执教40年，直至逝世。他一生著述颇丰，其主要思想主要集中在著作《理想国》和《法律篇》中。

柏拉图学派关于数学的基本观点是：数学的对象就是数、量、函数等数学概念，而数学概念作为抽象的一般或“共性”是客观存在着的。柏拉图认为数学概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在，它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒存在。数学家得到的新概念不是创造，而是对这种客观存在的描述；数学新成果不是发明，而是发现。与之相应的，柏拉图主义认为数学理论的真理性就是客观的由那种独立于现实世界之外的存在决定的，而这种真理性是要靠“心智”来理解，靠某种“数学直觉”来认识，人们只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数学世界”。

柏拉图学派重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法。柏拉图学派主张，科学的任务是发现自然的结构，首次提出了应该把严格推理法则系统化，从而为数学走向新的阶段起到前导作用。

在柏拉图思想的影响下，学派中出现了一些对数学发展做出贡献的数学家。例如，柏拉图的学生欧多克斯，用公理化方法来研究数学，欧几里得《几何原本》第五卷比例论的大部分内容是欧多克斯的成果。

柏拉图的另一名学生是亚里士多德，被誉为形式逻辑的鼻祖，其思想影响西方数千年。他也非常重视数学的学习和研究，他所给出的点线面的定义，广为传播。他还应用演绎逻辑的方法对许多数学问题做出了证明。

柏拉图学园维持了900余年，直到公元529年，才以传授“异端邪说”的罪名被查封。柏拉图的数学、哲学不仅成了那个时代数学界的指导思想，而且影响及于后世。

1.2.3 古希腊数学的亚历山大时期（公元前330—640）

1．亚历山大时期的概况

从公元前338年古希腊诸帮被马其顿控制，至公元前30年罗马征服最后一个古希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称古希腊数学的“黄金时代”。此时，由于亚历山大城的繁荣，大批优秀的古希腊数学家云集于此，形成了著名的亚历山大学派。亚历山大大帝东侵，客观上造成了希腊文化与东方文化的融合，产生了高水平的希腊文化，数学也在这里找到了新的生长点。这个时期的数学发展有两个方向：

一部分数学家继续沿着毕达哥拉斯学派和柏拉图学派的方向前进，致力于研究、整理纯粹数学的理论，使之形成体系，这个方向的代表人物是欧几里得（约公元前300年—? ）和阿波罗尼奥斯（公元前262—前190）。主要著作有《几何原本》和《圆锥曲线论》。

另一部分数学家则积极参与天文学、地理学、力学、光学等方面的研究，他们不仅使古典时期的优秀成果发扬光大，而且还开拓了新的领域。这个方向的代表人物是阿基米德，他与欧几里得、阿波罗尼奥斯并称为亚历山大时期的三大数学巨人。

2．阿波罗尼奥斯及其数学成就

关于这一时期在纯数学方面的成就，我们会专门介绍欧几里得及其数学成就（详见第4章），现在主要介绍阿波罗尼奥斯及其工作。阿波罗尼奥斯出生在古希腊的佩尔格（Perga或Perge），是处于黑海与地中海之间的地区，被称为安纳托利亚（Anatolia，今属土耳其，也称为小亚细亚），其南部有古国潘菲利亚（Pamphylia），佩尔格是它的主要城市。阿波罗尼奥斯年轻时到亚历山24大跟随欧几里得的后继者学习，那时是托勒密三世（公元前246—前221在位）统治时期，到了托勒密四世（公元前221—前205在位）时，他在天文学研究方面已颇有名气。后来他又到过小亚细亚西岸的帕加马（Pergamum）王国。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的研究，其成果集中在《圆锥曲线论》中。

《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了古希腊几何的最高水平，自此以后，古希腊几何便没有实质性的进步。直到17世纪的帕斯卡和笛卡儿才有新的突破。《圆锥曲线论》共8卷，前4卷的希腊文本和接下来3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。此书集前人之大成，且给出了圆锥曲线的很多新结论。他推广了梅内克缪斯（公元前4世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线的名称。另外，书中已有坐标的思想萌芽。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解释太阳系内5大行星的运动时，提出了一个偏心模型，为托勒密的地心说提供了工具。

3．阿基米德及其数学成就

阿基米德（公元前287—前212），古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称。阿基米德和高斯、牛顿并列为世界最伟大的三大数学家，被誉为数学之神。

阿基米德生于希腊西西里岛叙拉古附近的一个小村庄的贵族家庭，与叙拉古的希耶隆（Hieron）王有亲戚关系，家中十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。“阿基米德”在希腊文中是“大思想家”的意思。阿基米德受家庭的影响，从小就对数学、天文学、力学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣。他发现的浮力原理、杠杆定律以及机械应用都是被人们熟知的成就。在数学上，阿基米德的主要数学著作有：《论球与圆柱》《圆的度量》《劈锥曲面与回转椭圆体》《论螺线》《平面图形的平衡或其重心》《论数沙》《求抛物弓形的面积》《论浮体》《引理集》《群牛问题》等。其中最突出的数学成就是：

（1）用穷竭法求面积与体积，特别是球的体积和表面积，这是积分学的萌芽；

（2）科学地计算出；

（3）首先提出阿基米德螺线及其重要性；

（4）讨论了高阶等差数列和不定方程问题。

关于金冠之谜的故事。希耶隆王命金匠打了一顶金王冠，疑其有假，于是，请阿基米德来鉴定。阿基米德一时也想不出好办法来，正在苦闷之际，他就去浴室洗澡，当浸入装满水的浴盆时，水溢盆外，而体重顿觉减轻，于是豁然开朗，悟到不同材料的物体，虽然质量相同，但因体积不同，排出的水必不相等。由此，可以判断王冠是否掺假及掺假的分量。这一发现非同小可，阿基米德欣喜万分，竟忘了穿衣，赤身去准备他的实验，他在回家的路上，一边跑，一边大叫“尤里卡！尤里卡！”（意为：我知道了）阿基米德的这一发现，就是今天中学里熟知的流体静力学第一26定律。现在任何一个中学生都知道如何通过一个简单的实验和一些关于比重的简单计算来解决这个问题。但是，第一次看透这个原理的人却需要非凡的洞察力。

关于保卫家园的故事。公元前216年叙拉古和罗马帝国之间发生战争，罗马军队的最高统帅马塞拉斯率领罗马军队包围了阿基米德所居住的城市，还占领了海港。阿基米德虽不赞成战争，但为了保卫自己的祖国，他发明了御敌武器，利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪。阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。这些武器使罗马军队惊慌失措、人人害怕，连将军马塞拉斯都苦笑着承认：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的战争”“阿基米德是神话中的百手巨人”。

阿基米德的豪言壮语。阿基米德发现了杠杆定律之后，曾对希耶隆王说：“任何重物都可以用一个给定的力来移动。”国王大为诧异，便用一艘大货船让阿基米德来证实。这艘船通常要用很多人花很大力气才能拖动，阿基米德安装了一组滑轮，自己站在远处，手握绳子的一端，轻而易举地拖动了大船，令国王佩服得五体投地。阿基米德曾发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可以移动地球！”其志何其大也。

关于伟人之死。公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年75岁。关于阿基米德的死有很多传说，其中之一是说，罗马士兵闯入了阿基米德的住宅，看见一位老人正在自家宅前的地上画图研究几何问题，看见来人就说：“走开，别动我的图！”士兵十分生气，于是拔出刀来，向着阿基米德身上刺了下去。那位罗马军队的统帅马塞拉斯对阿基米德的死深感惋惜，并将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决，为阿基米德举行了隆重的葬礼，还为阿基米德修建了一座陵墓，在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿，刻上了“圆柱内切球”这一几何图形。这一图形表示球的表面积等于底面直径和高都是球直径的圆柱的侧面积，它是阿基米德的得意之作。

4．亚历山大后期

在亚历山大时期，几何学开始了定量研究，算术和代数获得了新生，三角学的诞生则把定量研究推向了高峰。

大约公元前3世纪末，即亚历山大后期，亚历山大城开始从黄金时代走向黯淡。随着罗马人的入侵，希腊文明逐渐毁于战火。数学史上常把这一时期称为罗马阶段。在这个阶段，亚历山大城仍然保持着数学的中心地位，古希腊数学作为一种独特的形态也仍然存在并继续发展着，同时出现了一些有名的数学家，其主要人物及其成就有：

埃拉托斯特尼（约公元前230）素数筛的创立者，在天文学、地理学上都有贡献。

海伦（约75）精于测量，用三边表示三角形面积公式的创始人，著有《实用几何》《测量》等。

托勒密（约87—165）《大汇编》作者，三角学的奠基人。

丢番图（约246—330）当时最著名的数学家，著有《算术》十三卷，其内容、方法主要涉及代数学，对不定方程有很多成果，被誉为不定方程的鼻祖。

帕普斯（约300）著有《数学汇编》八卷，其中载有我们熟悉的闭曲线绕定轴旋转所形成的回转曲面面积公式和回转体体积公式。

许帕提娅（370—415）注释过阿波罗尼奥斯和丢番图的著作。

415年，亚历山大学派的最后一位代表、希腊女数学家许帕提娅在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，盛极一时的亚历山大学派从此宣告灭亡。640年，征服了埃及的阿拉伯回教徒又以取缔异教徒为名，对古希腊文化进行了最后一次扫荡，迫使大部分学者携带著作逃到东罗马的首都君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布尔），在艰难的环境中把一批希腊数学文化遗产保存了下来。这些成果在文艺复兴时期对欧洲数学的迅速发展提供了丰富的营养。

1.2.4 希腊数学侧重演绎逻辑的哲学文化背景

古典希腊哲学是由古希腊哲人对生活的智慧的总结与思考，在希腊人看来，哲学和科学是同一个范畴，其主要内容都集中在辩论与质询。古典希腊哲学对西方的哲学、科学和宗教的发展都有深刻的影响。事实证明，几乎所有早期希腊哲学家提出的各种宇宙论都是谬误，但这并不会降低它们的重要性。因为以后的哲学家立刻抛弃了前人假设的答案，开始新的研究。但他们不能逃避前人所提出的问题：

一切事物从哪来？

它到底是由什么构成的？

我们如何解释大量事物组成的本质？

为什么我们能用单一数学来描述它们？

于是，希腊哲学家所追随的形式和传达答案的方法，变得与他们所问的问题一样重要。前苏格拉底学派的哲学家拒绝传统的神话对他们所见现象的解释，而赞同更理性的解释。换言之，他们依靠推论和观察来阐明围绕他们周围的真实自然界，而且他们使用合理的论点以突出他们的观点来告诉他人。尽管哲学家对关于理性和观察的重要性有所争论，但2500年来他们基本上一致使用由前苏格拉底学派发明的方法，即反对神秘主义，用理性来解释和认识世界，而达到理性的途径和工具之一就是演绎逻辑。

1.2.5 古希腊数学评析

古希腊文化在世界文化史上有独特的地位，古希腊数学在世界古代数学史上首屈一指、至高无上。在一切古代文化中，它是对当代文化影响最大的。古希腊的创造对现代西方文化及今日数学都起了重要的奠基作用。与巴比伦和古埃及相比，古希腊人站得更高、看得更远一些。在巴比伦和古埃及，数学只是解决实际问题的工具，更像个奴仆。而希腊人第一次把数学送入神圣的殿堂，数学不再是单纯的服务工具，而是理性探索精神的化身，它可以脱离实际应用独立发展。

古希腊人的数学成就主要源于他们对宇宙的态度。他们敢于直视宇宙并追寻究竟，不是把宇宙的一切归之于不可知的、可怕的、神秘的力量或神祇，而是用一种理性的态度去对待它。甚至认为宇宙是可以用数学来描述的，他们用数学的理性思维来琢磨宇宙，毕达哥拉斯的“万物皆数”就是一个典型的例子。这种理性意识，深深地影响了西方的文化。由于希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们进行抽象的推理，激发人们对理想和美的追求。因此，当我们看到这个时代具有很难为后人超越的优美文学、极端理性化的哲学以及理想化的建筑和雕刻时，也就不足为奇了。在数学上，古希腊的主要成就有：

（1）使数学成为抽象化科学。这一重大贡献有其不可估量的意义和价值。它创造人类历史上第一个理性思维的典范。

（2）坚持演绎证明。这也是了不起的一步。在世界上的几百种文明里，有的的确也搞出了一些粗陋的算术和几何，但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论。这不仅为数学研究提供了理论指导，也可以确保研究结果正确无误。

（3）完成了初等数学的主体。从平面几何到立体几何，从平面三角到球面三角，从数论到代数，希腊人都做出了突出的成就。

（4）视数学等同于物理世界的实质。这种对自然界的看法，对后世同样是一种重要的贡献。

（5）重视数学的美学价值。古希腊人视数学为艺术，他们在其中认识到美、和谐、简单、明确以及秩序。正是由于数学在美学上的吸引力，才使得古希腊数学家把有些项目探索到超出为理解自然所必需的程度。

尽管希腊数学有辉煌的成就，但它还是有缺点的，具体如下：

（1）不能掌握无理数。这不仅限制了他们的算术和代数，而且使他们转向并强调几何，把代数与几何看成是互不相干的学科。

（2）过分强调逻辑性和严密性。希腊人坚持要有准确的概念和证明这个准则，从数学的创造发明来说却是个缺点。

（3）把结构严密的数学限于几何。这种几何方法会使证明越来越复杂，并缺乏一般性。

（4）把几何图形只限于能用直尺和圆规作出的图形。

（5）把抽象思维同实用分开。这就使希腊几何成为一门成就有限的学科。

（6）相信数学事实不是人创造的，而是先于人存在的。这使他们未能领悟无穷大、无穷小和无穷步骤。

1.3 中国传统数学文化

中国位于东亚，是以华夏文明为主体、以中华文化为基础、自汉朝以来以汉族为主要民族的多民族统一国家，并通用汉语。中国人一般自称为龙的传人或中华民族。

作为四大文明古国之一的中国，具有悠久的历史，灿烂的文化。距今约5000年前，在黄河流域和长江流域开始出现部落组织进而形成国家和朝代，此后又历经多次演变和朝代更迭。其中，科学技术的基础——数学在中国诞生甚早，发展也很全面，可称得上是人才辈出，硕果累累，蜚声中外。由于中国地域辽阔、人口众多，所以吃饭问题是首要问题。传说中的伏羲、神农、大禹都是与农业有关的，直到清末之前，中国始终是一个农业国。以实用为主，为实际服务的理念，在中国传统数学中体现得淋漓尽致。因此，中国传统数学在创造灿烂的中华文明中起到了不可估量的作用。

1.3.1 中国传统数学文化的起源

1．几何的起源

中国的原始社会是什么时候出现的，目前还很难断定。据考证，距今150万年前的“元谋人”已会初步加工石器；50万年前的“北京人”制造过大量石器，有片状的，有近似尖锥状的，形状多种多样。1977年，在湖北省大治县章山村发现了一批几十万前的旧石器，其中有许多不甚规则的球状石器。

类似的例子可以举出很多。虽然我们不能妄断，旧石器时代中国的祖先已经有了球、锥等几何观念，但几何观念正是这样逐渐形成的。

进入新石器时代以后，人为制作的器物种类有所增加，形状也更加规则。1974年，在云南省云县忙怀村出土了五六千年前的带有圆形的石钻和近似长方形的石头。1973—1974年，浙江省余姚县河姆渡村出土了六七千年以前的陶片，从已复原的陶器来看，有圆形的，有多角形的。在比河姆渡稍晚的西安半坡遗址中，发现的陶器类型繁多，形状多样，足以说明六七千年前，半坡人已具有初步的圆、球、圆柱、圆台、同心圆等几何观念。

2．数目观念

数目观念是伴随着人的活动和思维能力的提高而逐渐形成的。它的形成要比几何观念迟一些。至迟五六千年以前的西安半坡人和陕西姜寨人，已掌握了较多的数目。如在半坡出土的彩陶钵上斜画着一组组的直线，每组都是7条，另外一些陶器上有许多坑点，每行点数相同，有的都是7个，有的都是8个；还有的排成三角垛，从1至8排列十分整齐。这说明当时人们已经有了简单的数目观念。

3．记数方法

记数符号起源于何时还难下断论，从现有资料看至迟在半坡时代已经有了刻画符号，用以表示数字。《周易·系辞》说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，说明结绳与书契（刻木或刻竹）是早期的记数方法。这个“上古”是什么时候，还难以回答。但可以肯定地说，至迟在新石器时代已经使用结绳记事，稍后便出现书契。

由于中国古代将文字主要写在竹子、丝帛、纸张等上面，而中国又主要地处亚热带，环境比较湿润，所以这些书写材料比较容易腐烂，难以保存。中国早期出土的与数学有关的实物主要是龟甲。殷商甲骨文中已有较完整的数目系统和记数方法，并含有十进制的萌芽。

1.3.2 早期的数学知识

中国早期的典籍中含有许多数学知识。《周易》是中国现存最早的典籍之一，孔子（公元前551—前470）曾研究并修改过它，说明它至少是与孔子同时代的著作。书中所反映的思想属于西周到春秋时期（公元前11世纪—前476）。此书主要讲卜筮问题，含有初步的排列组合思想和二进制思想。

春秋（公元前770—前476）末期，著名军事家孙武著有《孙子兵法》，书中包含了许多以少胜多、以弱敌强等运筹思想。

战国（公元前475—前221）时期的孙膑也是善于运用策略的军事家，他的“斗马术”问题是一个很有名的对策论问题，是对策论中争取总体最优的早期光辉范例。

至迟在春秋时期，中国已经有了分数的概念，战国时期分数的运用已很普遍。在《管子》《墨子》《商君书》《考工记》中有大量记载。算术四则运算在春秋战国时期已经确立。

春秋战国时期，由于手工业、土木工程等方面的发展，积累了较多的几何知识。如《左传》中就讲到公元前584年楚国在兴修水利之前进行的各种测量，以及公元前510年晋国率各诸侯国为周室筑城之前的测量和计算。

《墨子》一书是最早对几何理论进行初步研究的。书中涉及逻辑学、力学、光学和几何学等方面的内容，试图用形式逻辑的方法阐述几何概念，这与古希腊的亚里士多德有些相似。

萌芽于殷商的筹算法，在春秋战国时期也得到了广泛的应用，它采用十进位值制记数，记数明确，运算方便，为中国在计算方面的长足发展提供了条件。中国数学正是围绕与实际生活问题相关的计算及天文历法的计算而展开的。

1.3.3 中国传统数学体系的形成

从秦汉（公元前221—25）至唐代（618—907）是中国传统数学体系的形成时期。前面已提到，春秋战国时期，中国已有许多数学成果，但这一时期我们没有发现数学专著，数学的实际水平难以确知。自秦汉至唐，就出现了许多数学专著和历法（历法是农业文明所必需的，中国传统数学与历法联系十分密切）：

《算数书》大约成书于公元前180年，是1983年在湖北江陵县张家山出土的竹简算书，内容涉及与当时社会实际有关的计算问题，如分数的四则运算。

《周髀》（后人改称《周髀算经》）大约成书于公元前1世纪，是一部以盖天说为中心的天文学著作，涉及数学方面的内容有分数运算、等差数列、勾股定理和测绘术等。三国时孙吴的赵爽（约3世纪）为此书作了注释，其中《勾股圆方图注》很有学术价值。

《九章算术》大约成书于公元50—100年，是中国古代最重要的数学书。全书把农业生产和实际生活中遇到的问题汇集起来，以问题集成的形式，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股共九章，概括了中国秦汉以来的数学成就，体现了中国古代把数学看作独立学科的先进思想和数学为实际服务的理念，它的书写体例为：立题、作答、术文，是中国后世撰写数学著作的主要模式。

《九章算术注》写于263年，作者刘徽（约3世纪）将《九章算术》详加注释，并加以引申，从而奠定了中国传统数学的理论基础。

《海岛算经》263年由刘徽著，载有9个测量计算问题。

《孙子算经》三卷大约成书于四五世纪，是一本启蒙算书，主讲四则运算及日常应用问题，载有“物不知数”题。

《张丘建算经》三卷大约成书于5世纪，是《九章算术》以后的一本较好的书，在级数、不定方程方面有新意。

《缀术》由祖冲之（429—500）著，《隋书》评论“学官莫能究其深奥，故废而不理”，认为《缀术》理论十分深奥，计算相当精密，学问很高的学者也不易理解它的内容，在当时是数学理论书籍中最难的一本，但已失传。据其他书籍记载，在《缀术》中，祖冲之提出了“开差幂”和“开差立”的问题。所用到的计算方法已是用二次、三次方程求解正根的问题了，三次方程的解法以前没有过，祖冲之的解法是一项创举。其内容还可能与《九章算术》有关，也可能有若干天文历算等方面的问题。《缀术》还曾流传至朝鲜和日本，在朝鲜、日本的古代教育制度和书目等资料中，都曾提到《缀术》。

祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第7位，即在3.1415926和3.1415927之间，他还给出圆周率的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率）。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。他提出的“祖率”对计算数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。

在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不像用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆放以进行新的计算；只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此，只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。祖冲之为求得圆周率的精准数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，算筹要摆几丈长。足见其计算的难度。

《五曹算经》《数术记遗》《五经算术》都是北周甄鸾（约6世纪）所著，内容较浅显，主要涉及分数的四则运算。

《缉古算经》由王孝通（7世纪）著，记有20个实际应用问题，内容涉及三次方程的数值解。

《夏侯阳算经》，今传本是8世纪的作品，内容涉及四则运算与速算法。另外在天文历法中也包含有许多数学知识。

《三统历》（西汉末）涉及上元积年、一次不定方程和一次同余式问题。

《元嘉历》是何承天（370—447）于445年完成的。这部历法中使用了不少先进数学方法，对近似分数、π有所研究。

《皇极历》是刘焯（544—610）600年所著，其中使用了等间距二次内插公式。

《大衍历》是张遂（683—727）729年所著，其中使用了不等间距二次内插公式。

以上这些数学成就标志着中国初等数学体系的形成和农业文明的发展与辉煌。

1.3.4 中国传统数学体系的发展

经过前一段时间的积累，中国数学发展到宋、元时期（960—1368）出现了新的高潮。仅在宋代不到三百年的时间里就出现了50多部数学书籍，这些书籍不论在数量上还是质量上均胜过前代，但除少数幸存外，其余均失传。仅从现存书籍看，宋、元时期中国数学的成就是辉煌的，特别在代数和数论方面取得了世界一流的成果。数学研究虽然仍源于实际应用，但更重视独立发展。其主要数学著作及其成就有：

《黄帝九章算法细草》和《释锁》均为北宋贾宪（约11世纪）著，都已失传，内含高次方程的增乘开方法、“开方作法本源”图等成果。

《议古根源》由刘益（约11世纪）著，已失传，内含正负系数的高次方程的数值解法。

《梦溪笔谈》1086年由沈括（1030—1094）著，包括“隙积术”、“会圆术”及与高阶等差级数、运筹学等有关的数学问题。

《数书九章》1247年由秦九韶（13世纪）著，含有一次同余式组、高次方程数值解、三斜求积公式等成果。

《详解九章算法》（1216）《日用算法》（1262）《乘除通变本末》（1274）《田亩比类乘除捷法》（1275）《续古摘奇算法》（1275）五部算书都是杨辉（13世纪）所著，论述实用数学的各种问题，还引述了贾宪等人的许多成果。

《测圆海镜》（1248）《益古演段》（1259）均为金、元时期李冶（1192—1279）所著，是介绍天元术（设未知数）的最早著作，后者还详细讨论了与直角三角形内切圆有关的许多问题。

《算学启蒙》（1299）《四元玉鉴》（1303）二书都是元代朱世杰（13、14世纪）所著，集宋元数学之大成，论述高阶等差数列求和及多元高次方程等问题。

宋代苏颂的《新仪象法》和李诫的《营造法式》是古代机械制图和建筑制图的代表作，含有画法几何的萌芽。

另外，赵知微在《大明历》（1171）中创立了三次内插法公式，王恂、郭守敬在《授时历》（1271）中更普遍地使用这种方法。

1.3.5 中国传统数学的延续

自元代朱世杰之后至清代中叶（约1368—1860），中国的资本主义开始萌芽，商业数学得到普及，西方初等数学开始传入，但中国传统数学仍在继续发展。康熙皇帝重视数学，以梅文鼎（1633—1721）为代表的数学家取得了不少成果，但相对于欧洲的数学却落后了。这一时期的主要数学著作和成就有：

《九章算法比类大全》1450年吴敬（15世纪）所著，主讲商业算术。

《算法统宗》1592年程大位（1533—1606）所著，它是一部畅销百年的算书，主讲珠算。

《同文算指》1614年李之藻（1565—1630）与利玛窦（1552—1610）合著，介绍中西各种算术问题。

《梅氏历算丛书》清初梅文鼎所著，共六十三卷。其中有《方程论》论线性方程组；《少广拾遗》论开方；《几何补编》论立体几何；《方圆幂积》论球体几何；《平三角举要》《弧三角举要》《环中黍尺》《堑堵测量》研究平面三角和球面三角；还有《筹算》《笔算》等书。

《数理精蕴》是当时的数学百科全书，共五十三卷，分为三部分，梅珏成（1681—1763）主编，从1713—1721年历时九年告成。其内容包括当时中国数学家的一些研究成果，也包括从西方传入的一些数学知识。

《衡斋算学》是汪莱（1768—1813）于1796—1805年十多年间陆续写成的，共七卷，论述球面三角学、方程论等。

《视学》1729年年希尧（? —1738）所著，是世界上第一部系统的画法几何书。

《求一算术》1803年张敦仁（1754—1834）所著，讨论一次同余式问题。

《割圆密率捷法》蒙古族科学家明安图（? —1738）所著，主要讲述幂级数。

《则古昔斋算学》清李善兰（1811—1882）的数学文集，其中《方圆阐幽》

（1845）首创幂函数的定积分公式，《垛积比类》（1859）给出了自然数幂和公式等重要命题。

《截球解义》徐有壬（1822—1860）所著，详论球体几何。

另外，从乾隆中期至19世纪40年代，出现了像汪莱、李锐（1773—1817）、项名达（1789—1850）等许多优秀的数学家，但他们的成果多晚于同时代的西方。

1.3.6 中国传统数学的特色

古希腊数学作为西方数学的代表，以抽象性和系统性为主要特点，并以其几何和数论闻名于世。而中国传统数学作为东方数学的代表，则以实用性和构造性为主要特点，通过理论与实践的结合，奠定了正确反映现实世界的理论基础，从而体现了另一种迥然不同的风格。

1．鲜明的社会性

鲜明的社会性是最基本的特色。首先，它表现为实用性。这种实用性直接促成了中华农业文明的形成与发展。中国传统数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系，不仅编纂的体例多以问题集的形式体现，而且所涉及的内容都反映了当时社会的政治、经济、军事、文化、天文、历法等方面的实际情况和需要。其次，数学的教育与研究始终在中国政府的控制之下，使之适应于统治阶级的需要。最后，数学的思想深受历史上各种社会思潮、哲学流派甚至宗教神学的影响。

2．形数结合，以算为主

中国传统数学的实用性，决定了它以解决实际问题和提高计算技术为主要目标。算筹（后来是算盘）和十进位值制的发明又为这一目标的实现提供了条件。“算术”的意义也体现了以计算为中心的特色。

中国的算筹不用运算符号，无须保留运算过程，只是通过筹式的逐步变换而最终获得问题的解答。因此，中国古代数学著作中的“术”，深具程序化和算法化特色，只要用现代程序语言表示，就可在计算机上运行。如方程术、开方术、盈不足术、大衍求一术等。

在几何上，中国注重长度、面积和体积的度量，不注重几何图形性质与位置关系的研究。几何对象的度量化，使中国传统数学以算为主的特色得以充分体现。

3．寓理于算和理论的高度精练

中国传统数学以计算为主，但也不乏理论和证明。一般数学著作只叙述算法（即“术”），而算理常常隐而不显。后人常以作注的形式阐明其理。

1.3.7 中国传统数学文化简评

中国传统数学在世界数学史上独树一帜，源远流长，其起源之早，持续时间之长在世界上是罕见的。我们试作简评如下：

（1）大大丰富了世界数学的内容。中国数学有辉煌的成就，在十进位值制、正负数、比例算法、四则运算、线性方程组的解法、一次同余式组的解法、高次方程的数值解法、设未知数列方程、高阶等差级数、极限理论、内插公式、圆周率、球积术、二项式系数、画法几何等方面都是领先于世界的。特别是在13世纪，中国数学的成就代表了当时世界数学的最高水平。

（2）完成了代数与几何的主体。

（3）坚持数学的实用性，使数学内容丰富多彩，并真正为实践服务。

（4）坚持构造性和程序化特色，使应用性更加高。

（5）直接或间接影响了周边国家数学的发展，如日本、朝鲜、阿拉伯、印度，特别是日本数学是在中国数学的直接影响下产生、发展的。

（6）没有及时汲取他国之长。

（7）对数学的基础重视不够。

（8）把数学的价值和作用局限于实用，束缚了数学自身理论的发展和古代中国人对大自然的认识。在对理性精神的追求上逊色于希腊。

1.4 古印度数学文化

1.4.1 历史背景与数学发展概况

古印度是人类文明的发源地之一。古印度文明以其异常丰富、玄奥和神奇深深地吸引着世人，对亚洲诸国包括中国产生过深远的影响。就地理范围而言，古印度除了今天的印度，还包括巴基斯坦、孟加拉、不丹、尼泊尔等在内的整个南亚次大陆。中国在西汉时称其为“身毒”，东汉时改称“天竺”，到了唐代，高僧玄奘将其译为“印度”。古代印度在文学、哲学和自然科学等方面对人类文明做出了独创性的贡献。最显著的特征是其宗教性。

印度文明可追溯到公元前3000年。地处印度河、恒河两河流域的印度与其他文明古国一样，也是在农业的基础上发展起来的。为了掌握四季气候变化的规律，印度人民开始对星体运动进行观察和研究，并获得了计算技巧。公元前已遍布全印度的耆那教和佛教都十分重视数学，他们在建造礼拜用的圣坛时，对数学知识的需求很大，这也激起了人们研究数学的热情。

印度在历史上屡遭外族侵略。先是波斯王大流士（约公元前500），后是马其顿王亚历山大（公元前326），一直到笈多王朝（约320）才处于印度皇帝的统治之下。这样，印度数学就必然受巴比伦数学和希腊数学的影响。中国与印度是邻国，中印交往很早就开始了，中印间的相互影响也是存在的。但目前我们仍很难讲清楚巴比伦、希腊、中国与印度数学相互影响的程度。

由于印度没有纸，他们的文字除少数刻在石头、竹木片及铜器上外，大多是写在白桦树皮和棕榈树叶上，而这些树叶、树皮很难保存。直到11世纪，中国的造纸术传入印度之后，他们才有了写在纸上的典籍。因此，印度早期的数学史料是很少的。

1.4.2 印度的算术

数码 现在国际通用的所谓阿拉伯数码：1、2、3、…、9、0，是印度人对数学以至对整个人类文明的重要贡献。最初，他们用梵文的字头表示数码，并且各地的写法也不完全相同，经过上千年的演变才形成现今的写法。这项发明一般认为应归功于印度人，阿拉伯人只不过在把这些数码传入西方的过程中充当了信使，所以，把这些数码称为“印度-阿拉伯数码”才是恰当的。今天，它已经成为世界通用语言，是人类文明的重要组成部分。

数及其运算 分数的概念在印度很早就出现了。阿耶波多（约476—550）是我们知道的印度最早的数学家，生于恒河南岸的巴连弗邑，在今印度东北部比哈尔邦的巴特那市。在6世纪的《阿耶波多文集》中最早出现了开平方和开立方及其运算，其方法与中国的方法一样。

婆罗摩笈多（598—约660），是印度印多尔北部乌贾因人，他给出了与中国《九章算术》相同的分数四则运算法则，628年左右他又给出了正负数四则运算法则。但在使用负数时，颇有顾忌。

级数 阿耶波多的著作中，给出了许多级数求和公式，如，等。7世纪，婆罗摩笈多给出了等差数列的通项公式及前n项和公式。国王与大臣下棋赏麦粒的故事讲述的就是级数求和的问题。

比例 印度称比例为“三率法”，自婆什迦罗开始，他们系统地讨论了正比例、反比例、复比例和分配比例。

1.4.3 印度的代数与数论

符号 印度数学中用缩写文字和一些记号来表示未知数或运算符号。

一元一次方程 印度的巴克沙里手稿（四五世纪）中，开始用单假设法解一元一次方程。

线性方程组 印度会解特殊的线性方程组。

一元二次及高次方程 印度把一元二次方程都写成ax2+bx=c的形式，较丢番图（分三种形式讨论）有进步。婆罗摩笈多用配方法求得上述方程的解。婆什迦罗对二次方程进行了更深入的讨论，他承认一元二次方程有两个根，但当出现负根时，他总是舍去不用。印度也研究了特殊的高次方程，但没有对一般问题给出解法。

不定方程（组） 印度在求不定方程解的一般规律方面超过了丢番图。他们把求ax+c=by（（a, b）=1, a、b、c∈Z）的正整数解的过程称为“库塔卡”（梵文音译，意为碾细），他们用辗转相除法求得其解。另外，他们还处理了一些含三个未知数的一次不定方程问题及一次不定方程组问题。在高次不定方程方面，印度研究过所谓的贝尔方程Nx2+1=y2，还给出一组特殊的勾股数a2+1,2a, a2-1。

1.4.4 印度的几何与三角

几何 印度在几何方面没有什么突出之处。早期的几何中只给出了几个直线形面积公式，只有长方形和等腰梯形是正确的，其余均为近似公式。婆什迦罗在其名著《丽罗瓦提》（12世纪）中研究了圆周率：（密率）、（实用率），还研究了勾股定理，给出了一些体积公式。

三角 继希腊托勒密之后，印度又重新研究了三角学。与希腊一样，把圆周分成360度，但比希腊进步的是：用正弦长计算半弦（相当于今天的正弦线）而不是全弦，并给出了0°-90°每隔3°45′的正弦表。在具体计算时，还使用了内插法。

1.4.5 小结

从现有的资料来看，印度数学在公元200年以前尚处于萌芽状态。公元5世纪以后，印度数学有所发展，一直持续到12世纪。其间出现了一批有名的数学家：阿耶波多（476—? ，又叫圣使），婆罗摩笈多（598—665，又称梵藏），摩河毗罗（约850），婆什迦罗（1114—1185）等。印度数学的成就是多方面的，较有影响的是印度—阿拉伯数字、数的理论及解一元二次方程与不定方程。他们还在人类历史上最早研究了组合数。印度的计数法通过阿拉伯人的传承，直接促进了欧洲文明的发展，并成为现代文明的有机组成部分。

1.5 古罗马、美洲与日本的数学文化

1.5.1 古罗马数学文化

古罗马文明是西方文明的另一个重要源头，起源于意大利中部台伯河（TiberRiver）入海处。罗马坐落在意大利半岛中部的台伯河谷，意大利则居于地中海周边地区的中心。古罗马在建立和统治国家过程中，吸收和借鉴了先前发展的各古代文明的成就，并在此基础上创建了自己的文明。古罗马文明对西方乃至世界文明发展进程中最重要的贡献有两方面：前半期的罗马律法和后半期的基督教。在西方文明发展史上，古罗马文明起着承前启后的作用。古罗马通常指从公元前9世纪在意大利半岛中部兴起的文明，经历罗马王政时代、罗马共和国，于公元前1世纪前后扩张成为横跨欧洲、亚洲、非洲的庞大罗马帝国。到395年，罗马帝国分裂为东西两部。西罗马帝国亡于476年。东罗马帝国（即拜占庭帝国）变为封建制国家，1453年为奥斯曼帝国所灭。

古罗马艺术大多承袭希腊与伊特拉斯坎，古罗马人崇拜古希腊艺术，所以大量引用古希腊艺术形式，也因此而缺乏独创性。不过，古罗马人与希腊人重理想、在艺术创作中喜欢运用抽象和概括的理念不同，古罗马人更现实、讲究实际，更喜欢具体、实在的物体，尽管古罗马十分重视发展希腊艺术，但也保留了自己的艺术特点，以建筑和雕刻最具代表性。雄伟壮观的公共建筑，如万神殿、罗马竞技场、君士坦丁凯旋门，都展现了帝国的气魄。雕刻强调真实、自然，表现了古罗马人务实的性格。

反映在科学上也是如此。古罗马科学是总结过往累积的经验和吸收地中海诸民族科学成就的基础上发展而成，在农学、天文学、地理学及医学、工程技术方面都有较大的成就。与古希腊人比起来，古罗马人在科学方面的研究有两个明显的特色：第一，罗马人注重实际，而不看重抽象的理论框架的构造。第二，虽然古罗马人在自然科学方面，无重大创新，但由于他们征服了地中海沿岸广大地区，接触到许多文明古国创造的优秀成果，因此在对人类的科学成就进行总结方面有所贡献。

古罗马人于历史舞台上最活跃的时期大约是从公元前753年到公元476年，差不多和希腊文明昌盛的时期一样。至少从公元前200年起，古罗马人就同古希腊人有密切接触，在这1100年之间却没有出现过一个古罗马数学家。但是罗马数字和罗马记数法仍流传到今天。

罗马数字由七个拉丁字母组成，各字母所表示的数值如下：

其他数的记数法有四条：

（1）同字母并列，所表示的数是各数字所表示的数值之和，如Ⅲ=3, XX=20；

（2）不同字母并列，左值大于右值时，所表示的数为两值之和，如XⅡ=12；

（3）不同字母并列，右值大于左值时，所表示的数为两值之差，如XC=90；

（4）数字上方加一横线为原值的1000倍，如。

根据上述法则我们若做乘法723×364，很难想象应怎样去对DCCXXⅢ与CCCLXⅣ做笔算乘法！

罗马分数的底是12，他们用特别的符号和文字来代表分数，计算十分复杂。为计算方便，他们也发明了各种形式的算盘，也用手指和数表计算。

古罗马人的算术和几何主要用在测量上，只要用简单的测量仪器和全等三角形的知识就可以算出他们所需要的结果。从公元前50年左右起，古罗马人编写了他们自己的技术书籍，但其内容基本取自古希腊。

古罗马称占星术士为数学家，而占星术是罗马君王所严禁的。因此，“数学”一词在古罗马人那里的名声是不好的。他们用“几何学家”称呼我们现在所说的数学家，并与他们心目中的“数学家”严格区分。

罗马是一个伟大的民族，但罗马君王重视的是实用，将其精力用于权术和对外扩张，不重视数学。如果说他们需要数学的话，他们只是重视实际及其直接应用的结果，其抽象数学的水平是很低的。在这个时代的文化中缺少创造性的数学，也直接导致了其民族创造性的缺失。他们所有的进步都局限于工程技术的细枝末叶。他们并不是那种能够提出新观点的梦想家，这些观点能给人以更好地主宰自然界的力量。古罗马士兵杀害了著名的希腊数学家阿基米德，却没有一个古罗马人因为沉迷于数学而丧命。

1.5.2 美洲数学文化

印第安人早在4万年前就已经到达了美洲大陆，他们大约在4万年前从亚洲渡过白令海峡到达美洲，或者是通过冰封的海峡陆桥过去的。印第安人和西方人都是人类，因此是印第安人而不是哥伦布最早发现了美洲新大陆，只是他们的发现影响不大而已。不管是哥伦布还是其他西方人登上的美洲大陆，都不是“首先发现”，在他们来之前这里不仅有几千万的居民，而且早在他们之前就已经有亚洲人登上过美洲的土地，只是亚洲人不是为扩张势力范围和掠夺殖民地而来，而是为了寻找生活场所或躲避灾祸、文化交流或商业贸易，是一种和平的迁徙或探险，这和哥伦布以及后来的西方殖民者形成了鲜明的对比。

美洲人民在历史上曾有过辉煌的历史。在南美秘鲁境内，早在一万多年前就有人居住。公元前1200年左右，秘鲁人发明了陶器，上面画有许多规则的图形，说明南美洲人早已对几何图形有了一定的认识。但是，南美洲人没有发明文字，因此也没有给数学留下文字记录。

北美洲的文化比南美洲的文化要高。2800年前在墨西哥境内已有了较高的旧石器文化，在此基础上形成了玛雅（Mayas）文化，繁荣于3至9世纪的数百年间，这是美洲古代文化中最发达、水平最高的，也是世界著名的文化之一。玛雅人用石块建造了许多宏伟的殿堂、庙宇、陵墓和巨大的石碑。建筑物气势宏伟，富丽堂皇。至今在尤卡坦或危地马拉的热带丛林残存的玛雅遗址中，可以看到断垣残壁上鲜艳的色彩和美丽的图案。博南帕克遗址中留下了公元8世纪创作的古代战争壁画，画中人物千姿百态，栩栩如生，富有现实主义的表现力，是当今世界有名的壁画艺术宝藏之一。

玛雅人有一个教士阶层，他们研究数学和天文，并制定历法。玛雅人把一年定为365天，一年分为18个月。每个月20天，剩下5天作为禁忌日。历法的精确远早于欧洲的格里高利历。玛雅人运用“太阴计算法”推算出来的金星历年（指金星绕太阳一周所需时间）1000年相差不到1天，比当时世界上的任何一部历法都准确。玛雅人在数学方面的成就是发现了零，这在数学上是一个不平凡的成就，比欧洲要早800年。玛雅人的计算方法是根据人的手指和脚趾合起来计算，因此是20进位制。玛雅人创造了美洲唯一的文字。在数学上，玛雅人创造了三个符号和20进位制。这三个符号是“·”、“_”和☉，分别代表1、5和0，然后用堆垒的方法，可表示1到20的数，而每个较大的数由个位到高位、由下向上排列。玛雅数字为个位、20位、400位、8000位等。用这些数，玛雅人发明了自己的算术。

1.5.3 日本数学文化

1．日本数学的渊源

日本文明与中国文明同属东方文明体系。日本古代文明受到东方的大陆古代文明，特别是中国古代文明的影响甚大。日本吸收中国文化是多方面的、长期的历史过程。汉字和汉文、儒学、律令制度和佛教是日本吸收中国文化的主要内容。正是在中华文明的巨大影响下，日本到公元4至5世纪就渡过了野蛮阶段，进入了文明阶段。应该说，日本原初的文明还是自发生成的文明，而且经过历史的洗练和提升，形成了自己的民族特质。原始神道就是在日本岛国的自然风土中培育出的本土思想，这种思想成为孕育日本文明的河床。

日本数学也源于中国传统数学，并且是在中国传统数学的直接影响下发展起来的。630至894年两百多年间，日本派遣使者来中国达19次之多，其中13次到达了中国。随从人员中有不少留学生，他们回国后模仿中国的制度，在宫廷里设立算学博士，并招收算学学生，如文武天皇时（7世纪末）宫廷学校算学学生就达40人。从奈良时期到平安时期（794—1192），日本的数学只局限在太学和国学内讲授，很少外传。至12世纪末，才开始普及简单的算术。16世纪，由于日本工商业和城市日趋发展，日用数学也有所发展，江户时代（1603—1867）以前，他们还得到了中国的算盘和珠算书籍，并开始学习、研究和推广。

现存最早的日本珠算书是毛利重能（17世纪）的《割算书》（1622）。该书是受程大位《算法统宗》（1592）的影响而著的，当然它不是纯粹的珠算书，其中还包括日本早期的图形面积、体积计算方面的内容。一般认为，真正拉开日本算术时代序幕的，是毛利重能的学生吉田光由（17世纪）的《尘动记》（1627），这是日本人自己写的、对后世有影响的第一本算术书。该书有好几个版本，在宽永18年（1641）的抄本中，首次出现了日本数学的一种特殊形式遗题。遗题就是作者在书中提出的自己无法解决的问题。由于作者无法解决，所以对读者的吸引力很大。解出遗题的人不仅可以把答题公布于众，而且还可以提出新的遗题与答案一起公布，这种做法叫“遗题继承”。随着遗题的继承和发展，问题的难度也愈益加大，这对日本数学的发展起了一定的推动作用。

1592年，日本从朝鲜得到了中国的《算学启蒙》，并立即吸引了日本的许多学者。1658年，土师道六（17—18世纪）翻刻了这部书，取名为《算学启蒙训点》。1672年，星野实宣（1642—1708）又附入了一些简单的解释，出版了《新编算学启蒙注解》。1690年，关孝和（17—18世纪）的学生建部贤弘（17—18世纪）进行了更加详细的注释，写成《算学启蒙谚解大全》七卷，刊刻传播。

《算学启蒙》虽是13世纪末中国的一部数学普及读物，但书中所述天元术与数字系数的高次方程的解法，都代表了当时代数学的最高水平。由于《算学启蒙》只是通过解题来反映理论，无一般内容的介绍，于是在日本就出现了不少为阐述这一理论而努力的学者。较有影响的是沢口一之，他将自己的研究成果写成《古今算法记》，书中还解答了佑藤正兴在《算法根源记》中所提出的遗题150问，并在书后提出了自己的15个遗题。

但是，由于筹算的局限性，天元算式中所能体现的未知数的个数只能一个、方程的系数只能为整数、未知数的次数只能为正整数，致使《古今算法记》中的15个遗题无法用天元术解出，许多应用问题也无法列出方法，从而得不出结果。正是在这种情况下，日本数学首次突破了中国传统数学的框架，发明了笔算。

2．日本数学的独立发展

首创笔算列方程解题的是“和算之圣”关孝和。

关孝和于1642年左右生于郡马县一武士家庭，曾长期在江户（今东京）任德川幕府贵族家臣，1708年卒于江户。其著作共有20余种，生前仅发表《发微算法》（1674），身后由学生整理出版《括要算法》（1709）。他的主要功绩是冲破了筹算的局限性，扩充了与解方程有关的领域，如排列组合、行列式等，为日本数学的发展开拓了新的天地。人们把日本在江户时代以来发展起来的数学称为和算。可以说，和算的主流派是关孝和派，也称“关流”，关孝和之后的主要数学家见人物表。

和算的独立发展，使日本数学在许多方面超过了中国传统数学。在代数方面，论及了方程的判别式、正负根的存在条件及变换、牛顿的近似解法以及极大极小的条件，提出了行列式。在数论方面发现了零约术。在级数方面，发现了贝努利级数，求出了圆周率更精确的数值，给出了牛顿内插公式。在几何方面，求出了椭圆面积，研究了阿基米德螺线，确认了圆锥曲线为圆锥的截口等。

19世纪中叶，日本明治维新（1868）时期开始引进西方科技和文化。19世纪初期，数学著作仍借用中国的汉译本，如李善兰的《代微积拾级》《代数学》等。可见，在明治维新之前，中国数学的总体实力依然在日本数学之上。但30年后的1898年，中国却向日本大举派遣数理留学生，形势完全逆转，其中关键因素是日本新的教育政策并及时汲取他国之长，使日本快速进入发达国家或现代化国家。

青出于蓝而胜于蓝，日本数学和日本文明的发展与进步，很值得我们学习和深思。

1.6 阿拉伯数学文化

1.6.1 概 述

1．历史背景

公元前8世纪，阿拉伯半岛南部就出现了早期的阿拉伯国家。阿拉伯半岛地域辽阔，但土壤贫瘠，气候干旱，所以生活在这里的阿拉伯人直到6世纪还是逐水草而居的游牧民族。至六七世纪之交，穆罕默德（Muhammad）创立伊斯兰教，在他的宣传和鼓舞下，阿拉伯半岛上分散的、不统一的部落，以一种强烈的宗教热情联合成一个强有力的国家——阿拉伯部落联盟。至632年穆罕默德去世时，阿拉伯半岛几乎全部归穆斯林统治。此后，不到半个世纪，阿拉伯人征服了从印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利，形成了一个地跨亚、非、欧三洲的庞大的阿拉伯帝国。他们还在被征服的地区普及了伊斯兰教。

755年，阿拉伯帝国分裂为两个独立的王国，东部王国以巴格达为首都，西部王国以西班牙的哥尔多华为首都。征战完成之后，他们就开始定居下来创造他们的文明和文化，并十分重视艺术和科学。阿拉伯人的科学文化水平本来要比被征服地区的科学文化水平低得多，但是他们注意保存和吸收被征服地区的科学文化，重视被征服地区的人才，允许异教自由活动。正当欧洲处于漫长的黑暗之际，阿拉伯的科学文化却后来居上，成了当时除中国之外的世界科学中心。阿拉伯人将被征服地区的许多科学文献翻译成阿拉伯文，并重新校订、考证、勘误、增补和注解，使古代科学遗产得到新生。古希腊时期的许多著作，也正是通过他们才得以保存并流传至今。

大约从公元1000年以后，阿拉伯帝国先后受到土耳其人及十字军的入侵。1258年，巴格达被蒙古人侵占，阿拉伯帝国衰亡。

2．阿拉伯数学

通常所说的“阿拉伯数学”，实际上是阿拉伯帝国统治下的各民族学者共同创造的，其中包括波斯人、花拉子米人、阿拉伯人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、塔什干人以及犹太人等，而正统的阿拉伯人却很少。尽管如此，科学史仍把他们统称为“阿拉伯人”。由于阿拉伯帝国推行伊斯兰教，所以数学史上也称之为伊斯兰国家的数学。又因上述学者多在中亚细亚，故有的书也称之为中亚细亚数学。阿拉伯帝国强盛时，使阿拉伯语成为通行各地的科学用语，从而也把用阿拉伯文写的数学著作称为“阿拉伯数学”。

3．典型人物

阿拉伯地区各民族研究与保存了大量古代科学名著，并在吸取希腊、印度及中国科学技术的基础上有了不少的发展。其科学成就传入欧洲后，又为欧洲科学的崛起奠定了基础。阿拉伯数学在世界数学史上起着承前启后、继往开来的重要作用。但一个完整的中世纪伊斯兰数学史还很难呈现给读者，因为还有大量的阿拉伯手稿尚未研究。仅据目前已知的材料，从9至14世纪，著名的数学家及其成就有：

阿尔·花拉子米（780—850）阿拉伯数学初期的代表人物，著作很多，杰出的有《代数学》和《印度计算法》，其中《代数学》几个世纪以来，一直被欧洲奉为代数教科书的鼻祖。

阿尔·巴塔尼（858—929）主要从事天文工作，著有《星的科学》，发现了球面三角中的余弦定理。

阿尔·哈巴士（约8世纪）引进了正切、余切的概念，编造了每隔1°的正切表。

阿尔·瓦发（940—999）生于波斯，引进了正割、余割的概念，编造了每隔10′的正弦表、正切表，发现了球面三角中的正弦定理。

阿尔·毕鲁尼（937—1048）编著《三角学教程》，创立了用量角度、量高度来测量地球直径的设想。

奥马尔·海亚姆（1044—1123）塔吉克学者，诗人、哲学家、天文学家和数学家，著有《代数学》，用圆锥曲线求解了三次方程。

纳速·拉丁（1202—1274）塔吉克学者，修正了《几何原本》译本，其注释与补充颇有创见。在三角学方面，他的《论四边形》一书完整地引进了六个三角函数的概念，完成了平面三角学与球面三角学的基础理论。

阿尔·卡西（? —1429）乌兹别克人，杰出的中亚细亚数学家，著有《算术之钥》（1427）一书，内容极为丰富。

1.6.2 算术

阿拉伯原来只有数词，没有数字，后来采用了希腊的字母记数法。至773年，传入了印度的数字及其记数法。当时没有印刷术，书籍全用手抄，字体出入很大，至12世纪，逐步定型，并传入欧洲，所以欧洲人称其为“阿拉伯数字”。

阿拉伯人将印度的记数法加以改进来表示分数，也像印度人那样随便使用无理数，并采用了印度对无理数的运算法则。但在算术上阿拉伯人还是倒退了一步，因为他们摒弃了负数。

1.6.3 代 数

在代数方面，阿拉伯人吸取了古希腊数学中重视数学证明的精神，他们只有证明一个数学事实是对的才去相信它，但这种证明是几何的而不是代数的。阿拉伯人的第一个贡献是提供了这门学科的名称。英文“algebra”（代数）这个词来源于阿尔·花拉子米《代数学》（约825年）中的“al-jabr”（意为“还原”）一词。

他们首次把代数作为一门独立的学科，提出了一元一次和一元二次方程的一般解法、一元三次方程的几何解法，这方面的代表作是花拉子米的《代数学》。花拉子米把未知量称为“硬币”、“东西”或（植物的）“根”，现在把解方程求未知量叫做求根，正是来源于此。他提出的“还原”与“对消”两种变换，被长期保持下来，形成了现在解方程的两种基本变换：移项和合并同类项。

花拉子米称无理根为“聋根”或“哑根”，但对无理数的使用很有限，只承认形如的无理根，不承认形如的无理根。另外，他们的代数全用文字语言来叙述，这比印度倒退了一步。

1.6.4 三角学

三角学在阿拉伯数学中占有重要的地位，它是在印度的《历数书》、托勒密的《大汇编》和门纳劳斯的《球面论》的基础上发展起来的。阿拉伯的数学家们引进了新的三角量，揭示了这些三角量的性质及其关系，给出了平面三角形和球面三角形的全部解法，制造了一系列三角函数表，其三角计算也达到了很高的水平。

阿拉伯的三角学以纳速·拉丁的《论四边形》为代表。该书指出了由球面三角形的三个角可以求出三边及由三边可求三角。这一事实可以作为平面三角和球面三角差异的重要标志。《论四边形》使三角学系统化，并脱离天文学而成为一门独立的数学分支。这部著作对三角学在欧洲的发展有着决定性的作用。

另外，阿拉伯继承和保存了希腊的几何学，并把它传给欧洲，同时还作了一些研究工作。

他们在组合数学方面也有一定的成绩。如在13世纪，他们曾给出了组合数学的计算公式和“贾宪三角形”等。

1.6.5 小结

阿拉伯文化与“伊斯兰”是紧密相连的。阿拉伯文化不仅限于阿拉伯民族，而是信仰伊斯兰教的全世界穆斯林的文化成就。其实阿拉伯文化与伊斯兰文化是水乳交融的一体。阿拉伯文化历史悠久，内容博大精深，既坚守纯洁的理念，追求崇高的理想，又充满包容，体现出开放的胸怀。这种文化深深地影响着数学的发展，使阿拉伯人在数学上做出了非凡的成就，正如恩格斯在《自然辩证法》一书中指出：“古代希腊留下欧几里得几何学和托勒密太阳系；阿拉伯留下十进位制、代数学的发端，现代数字和炼金术；基督教的中世纪什么也没有留下。”阿拉伯数学成为欧洲数学文明发展的直接跳板。

1.7 欧洲数学文化

1.7.1 中世纪时

1．历史背景

在巴比伦、埃及、希腊和罗马各自盛极一时的年代里，欧洲（除意大利和希腊）只有原始的文明。生活在那里的日耳曼民族既不会书写又没有多少知识，直到5世纪才有所发展。人们把从西罗马帝国灭亡后，至文艺复兴以前的时代称为“中世纪”。这个时代在人们传统的印象中，是黑暗的，愚昧的，落后的，这个时代标志性事物是教会、骑士与封建制度，基督教教会笼罩着整个思想界，控制着教育、思想、哲学，并且通过裁定一个人的信仰来控制世俗世界，同时他们也是中世纪唯一掌有文化的群体。

中世纪前期的欧洲，生产停滞、经济落后，既无像样的发明创造，又无值得一提的科学著作。这就是欧洲历史上科学技术大倒退的时期。中世纪后期，由于受经院哲学的影响，科学技术举步维艰。在经院哲学产生与发展的同时，出现了以培根（1516—1626）为代表的反对派。他出生于英国的一个贵族家庭，博学多才，提倡科学，重视数学与实验，反对权威。在这种思想的影响下，科学开始复苏，出现了新兴城市和发明创造，各地纷纷创办大学，并开始学习数学。

这期间，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生接触。尤其是十字军东侵，客观上加速了东西方的贸易，使欧洲人大规模地接触到东方的文明，眼界大开，并激起了他们学习东方科学知识的热情。从此，中国的四大发明和阿拉伯的科学文化输入欧洲，为欧洲科学技术的发展提供了良好的条件。他们翻译了大量的阿拉伯文著作：先由西班牙犹太人将阿拉伯文译成西班牙文，再由基督教学者将西班牙文翻译成拉丁文。这些译本与当时保护学术行业的风气结合在一起，再加上当时的各种历史条件，形成了对学术思想的极大激励。欧洲的学术思想就此觉醒了。

2．数学的发展概况

中世纪欧洲数学的主要代表人物是意大利的斐波那契（约1175—1250）。他生于比萨，年轻时随父亲（商人）到过非洲，后来又到过埃及、西西里、希腊和叙利亚。回意大利后，便将他学到的知识汇编成书。其中一本称为《算盘书》（1202）。该书是一本阿拉伯与希腊资料的编译材料，是欧洲各族的数学“百科全书”，被学校当作标准教科书沿用200多年。它的最大作用是向欧洲介绍了印度—阿拉伯数码的计算方法。这使欧洲人从繁难的计算中解脱出来。

现存的《算盘书》是1228年的另一个手抄本，书中有一个有趣的问题：若每对大兔每月能生一对小兔，而每对小兔生长两个月就长成大兔。问：由一对兔子开始，一年后可以繁殖成多少对兔子？

这导致了著名的斐波那契级数：

1,1,2,3,5,8,13,21,34, …

这个数列的特征是：

F1=F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3）其通项。这一数列有十分美妙的性质，迄今还有人在研究。因为在自然界中我们到处可以看到斐波那契数列的身影。

在代数方面，斐波那契还著有《象限仪书》和《精华》，这两本书都是以算术为基础，用文字来叙述的。其中有一次和二次确定或不定方程以及某些三次方程的问题。重要的是，他严格证明了三次方程x3+2x2+10x=20的根不能用欧几里得的无理量来表示，第一次表明了数学所含的数超出了希腊人用尺规所限定的范围。

继斐波那契之后，尼科尔·奥尔斯姆（约1323—1382）在代数上也做出了一些成绩。在他未发表的《比例算法》中，最早引入了分数指数及其算法，并由此首先触及对数的思想。

几何与三角方面的工作当首推斐波那契的《几何实习》（1220），书中大部分内容重述了《几何原本》及希腊三角测量中的问题，并对此做了一些改进。

另外，这一时期三角学有一定的发展，对无限和运动也有一定的研究。

1.7.2 文艺复兴前后

文艺复兴是指13世纪末在意大利各城市兴起，以后扩展到西欧各国，于16世纪在欧洲盛行的思想文化运动，它带来了一场科学与艺术的革命，揭开了近代欧洲历史的序幕，被认为是中古时代和近代的分水岭。史学家称文艺复兴是封建主义时代和资本主义时代的分界。中世纪末期，随着奥斯曼帝国对东罗马帝国的不断侵略，东罗马人民在逃难的同时，将大量的古希腊、古罗马文化典籍和艺术珍品带到了意大利商业发达的城市。新兴的资产阶级中的一些先进的知识分子借助研究古希腊、古罗马的艺术文化来进行创作并宣传人文精神。文艺复兴是西欧近代三大思想解放运动（文艺复兴、宗教改革与启蒙运动）之一。人们通常把大约从1400年到1600年左右的这段时期，称为欧洲文艺复兴时期。这一时期人们的思想大解放，学术异常繁荣，出现了科学、文学和艺术发展的高潮。文艺复兴是一场深刻的革命，它对数学的震撼是巨大的。由于意大利各港口地位极为优越，加上罗盘的引进，使远洋航行成为可能，所以，对外贸易迅速发展，各种经济也随之壮大。这不仅为学术活动提供了保障，也在经济发展中提出了新的技术问题和数学问题。哥白尼（1473—1543）和开普勒（1571—1630）领导的天文学革命，哥伦布（1451—1506）在地理上的大发现，伽利略（1564—1642）在数学物理上的创造发明，共同打开了新的世界。

15世纪，希腊的著作大量进入欧洲。希腊的教师们被带到了意大利，而意大利人则到拜占庭去学希腊文。早在12世纪，欧洲人通过阿拉伯，学到了中国的造纸术和印刷术。到1450年左右欧洲人又采用了活版印刷，加速了知识的传播。欧几里得的《几何原本》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》（前四册）、丢番图的《算术》及其他一些著作，相继印刷出版了。

火药的引进，改变了战争的方法和防御工事的设计，使得研究抛射体的运动变得很重要。人们的兴趣渐渐转向数学。

通过对柏拉图著作的学习和研究，欧洲人知道了自然界是按照数学方式设计的，并且这个设计是非常和谐优美的内部真理。数学再一次激起了人们的兴趣。知识分子们开始怀疑中世纪的文明和文化，并要为其知识的建立寻找新的、坚固的基础，而数学则正好提供了这样一个基础，成了唯一被大家公认的真理体系，人们就把寻求真理的努力引向数学。15—16世纪，意大利成了世界数学的中心。这个时期的主要数学成就有：

透视法 自艺术家从面向神学转向大自然的时候起，他们便面临一个如何求助于数学，把三维的现实世界绘制成二维图形的问题。其结果便是透视法创立。

三角学 雷格蒙塔努斯（1436—1476）于1464年写成《三角全书》（1533年发表），使三角学在欧洲取得独立的地位。直到18世纪中叶欧拉（约16世纪）的工作出现之前，三角学没有发生根本的变化。

方程论 这一时期欧洲最重要的成就之一是给出了三次和四次方程的公式解法。费罗（1465—1526）首创代数方法解三次方程x 3+mx=n，但未公布，约1520年秘传给学生菲奥尔（约16世纪）。

威尼斯的塔尔塔利亚（1500—1557），经过多年研究得出三次方程x3± px 2=± q的方法，但没有发表。卡尔达诺（1501—1576）在米兰工作，向塔尔塔利亚学得三次方程的解法，发表在《大术》（1545）中。后来，卡尔达诺的学生费拉里（1522—1565）给出一般四次方程的求解方法，其成果也发表在《大术》中。

符号代数 雷格蒙塔努斯在代数方面做出过一些贡献，不过他的代数学还介于言辞代数与缩写代数之间。米兰的帕乔利（1445—1509）于1494年写成《算术集成》，总结了当时的数学知识，采用了一些较优越的符号。另外，德国的斯蒂费尔（1487—1567）、荷兰的斯蒂文（1548—1620）等都在代数符号方面做出过贡献。

第一个系统地在代数中使用字母的是法国的韦达（1540—1603）。他的65名著《分析学引论》被认为是符号代数的最早著作。

计算技术 印度记数法传入欧洲后，给他们的计算带来了方便。1585年，荷兰的斯蒂文创立了小数记法。

英国曼彻斯特的纳皮尔（1550—1617）发明了对数，其工作发表在《论对数的奇迹》（1614）和《作出对数的奇迹》（1619）中。另外，为适应计算技术的发展，出现了计算尺、计算器等计算工具。

1.8 小结

数学经过漫长的发展，至16世纪末17世纪初，已经发展成为一门独立的科学，建立了真正意义上的数学理论，已从经验形态上升为理论形态。初等数学的主体部分（几何、算术、代数、三角）已经全部形成，并且发展成熟。在这一阶段，古希腊、中国、印度、阿拉伯、意大利等国的贡献是突出的。欧洲的文艺复兴对数学产生了深刻的影响，并为欧洲数学发展高潮的到来准备了条件。这一时期，数学在为社会服务的同时，也得到了相对独立的发展，并为工业文明的产生奠定了基础。