§2 正负数的概念与整数的运算
2.1 正负数的概念
世界上最早详细记载正负数的概念和整数的运算法则的是中国。《九章算术》方程章第3题相当于解线性方程组：
在用直除消元法（相当于加减消元法）解方程组时，出现了从零减去正数的情况，于是《九章算术》就提出了正负术：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
前四句是讲正负数以及零之间的减法，意思是：同号相减，异号相加，以零减正得负，以零减负得正。后四句是讲正负数的加法，意思是：异号相减，同号相加，零加正得正，零加负得负。
魏晋时期，刘徽在给《九章算术》作注时，给出了正负数的明确定义和记法：“今两算（筹）得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”也就是说，表示两个相反的量，就定义为正负数，并用不同颜色或不同的位置来区别正负。
《九章算术》在用加减消元法解线性方程组时，已经用到了负数的乘法，只是没有明确提出。至元朝，朱世杰所撰的《算学启蒙》明确提出了正负数的乘法法则：“同名相乘为正，异名相乘为负。”又在《四元玉鉴》中提出了正负数的除法法则：“同名相除为正，异名相除为负。”至此，中国在整数的四则运算方面已基本完善。
印度人很早也引进了负数，婆罗摩笈多在628年左右系统地给出了正负数的四则运算法则。婆什迦罗在《算法本原》中进一步讨论了负数，他把负数叫“负债”或“损失”，用数码上加一点表示负数。不过当一个问题得出正负两个解的时候，他们会解释说：“负数解不合适，因为人们不赞成负数解，故舍弃。”他在该书中还讨论了零作除数的结果：“被除数为3，除数为0时，得商
，这个分母为0的分数，称为无限大量。”事实上，对于零的上述认识还是基于解方程x·0=a，若a不为零，则x不存在；若a等于零，则对任何有理数都满足，x是一个不定数量。因此，人们就把
看作表示任何有理数的符号，而
则当作没有有理数的符号。
欧洲直到15世纪才在方程的讨论中出现了负数，但并不承认它们是数。19世纪，在为整数奠定了基础之后，负数的地位才在欧洲最终确立。负数的发现与使用，是数学发展的一次大转变，也是人类思想认识上的一次飞跃。
2.2 关于整数运算的性质
古人在建筑数学的基础算术时，以不完全归纳为基础，赋予了整数的四则运算一些未加证明或说明的性质。这些性质在我们初学算术时，老师也是这样教我们的：先要我们像口诀一样记住1+1=2,1+2=3, …；同时又告诉我们像3+2与2+3这样两个和是相等的；紧接着又说像（2+3）+4=2+（3+4）也是成立的。并且这些方法对一般的也成立，即算术老师也像古人一样只讲“如何做”，而没有讲“为什么”。当我们长大能够问事物“为什么”时，这些方法则通过经常不断的使用，已经变成我们智慧中十分密切的一个部分，以至于我们把它视为理所当然的了。事实上，要严格证明这些性质并不是件容易的事，问题就在于算术的绝对普遍性，对一切整数都成立。
若“一切”只是用于事物或情况的有限类，则没有什么困难可言。因为每个有限集合都可以通过计数把它穷尽，我们只需对集合中的每一类逐一验证即可。虽然我们知道若真是这样做起来，会有许多难以克服的困难，但我们认为，这些困难纯粹是技术性的，而不是概念性的。
若“一切”是指无限类，情况又如何呢？我们也可以把每一类在想象中排列起来，使从第一个数开始，每个数都有一个后继数，但是我们不能想象计数的过程是没有尽头的。无限这个概念的根源究竟是什么呢？经验教给我们的是一切事物、一切人类过程的有限性。如果我们想通过计数把一切数字穷举完毕，其结果只是耗尽了我们自己的力量却仍然不能解决问题。无限的存在也不是由数学所能确定的，因为无限即计数过程的无止境，它只是一种数学的假设，是算术的基本假设，全部数学就建筑在这上面。在整数集中，加法和乘法运算之所以能重复进行，就是因为人们先验地假定了整数集的无限性。
中国古代从《庄子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”到刘徽的割圆术、弧田术、开方术和阳马术，对无限似乎有较明确的认识，但中国古代只是应用，并未明确论证无限的本质和整数的运算性质。在古希腊，从芝诺的四个悖论开始，无限一直是数学中的一个可怕的阴影，人们见之如避瘟神一般，唯恐躲之不及，也不可能对无限做出本质上的认识。我们说由于历史条件的限制，在那个时代人们是不可能把这个问题真正搞清楚的，也就不可能对整数的运算性质给出严格的证明。
今天，科学研究上往往采用演绎和归纳两种方法。前者的作用是论证命题的正确与否，但不能发现新的事实；后者的特长是能发现新的事实，可它永远也不容于严格的数学，不但用它来证明数学命题是错误的，就连用它来确证某个已成立的真理也是不可接受的。因为要证明一个数学命题，不论证实多少例子也是不够的；而要反证一项陈述，只要有一个例子就够了。
那么依据什么来用演绎法证明整数的性质呢？这就是数学归纳法。数学归纳法对于研究算术的许多性质是十分有用的。1894年，庞加莱在《数学推理的本质》中指出：“我们只能循着数学归纳法而前进，只有它能教我们新的东西，如果没有这种与自然归纳法不同但却同样极为有用的数学归纳法的帮助，演绎法是无力去创造出一种科学来的。”