均衡的稳定性

个人情谊与影响力的效果——从以上对均衡的讨论可以清楚看见，我们需要对不同分配的均衡结果是否稳定做系统分析。对动态分析而言这是不可少的，因为在实际情况中各种影响力的介入会使既有的分配改变。这些影响力是大是小取决于均衡是否稳定。一个最明显改变分配的例子就是某些人的加入或是退出。我们可以用不同的正态分配中的标准差，或是一改平均分配为上述排列的平均分配为例，来思考一个人的加入或是退出对分配的影响。我们发现当真实的平均分配及标准差接近临界点的正态分配时，均衡变得极不稳定。

发展门槛模型的最终目的即是建立一个数学程序以了解在任何排列下的分配的均衡会有什么样的稳定性特质。在这一节及下一节中，我将讨论两个影响门槛分配效果的重要角色：社会结构及社会行动在空间及时间上的散布。

我所谓的社会结构仅意味着任何人对他人影响力所依赖的社会关系。举个简单的例子，一个朋友的影响力是陌生人的两倍，而我们假设的心理门槛则是以陌生人示范的效果为计算基础。试想一个人的门槛是100人中50%示范了，而这时有48人参加暴动、52人未参加。在不考虑社会结构时，此人不会参加。但在他的20个朋友中已有15人参加，这些人的示范效果该被加倍计算。所以他看到的不再是48人参加暴动52人未参加，而是［（15×2）+（33×1）］人参加暴动［（5×2）+（47×1）］人未参加暴动，而他心目中的比例就不再是48/100，而是63/120＝0.525参加了。我们可以称这个比例为“认知上示范比率”。这时超越了门槛，此人会加入暴动。

在任何情况下，只要我们知道门槛分配，也就是一个社会计量矩阵，以及由每一个个人i对个人j影响力算出来的矩阵各格的权重值（weight），这个程序就可以让我们用向前循环求解的方式算出均衡来。为了对社会结构影响力有更一般化的论述，我们需要更系统地介绍哪些社会结构参数是有意义的。比如说，是否一个高密度或低密度的朋友网络会有较强的效果修正某些特定的门槛分配的均衡结果？这个问题也可以说是要如何给定权重的问题。

在给定一个网络密度之下，网络中即使只有有限的人数，仍可以组合出几乎无限数量的社会计量矩阵。假如我们给定一个门槛分配并假设所有朋友的权重值是相同的，则任何一个社会计量矩阵都会有一个均衡结果，而这一整组的社会计量矩阵则会组成一个均衡的频率或几率分配。而一再地尝试用分析方法来导引出这些几率分配却失败了。如果我们不假定朋友情谊是对称的，一些部分的分析成果仍然可能。我们因此可以提出一个虚无假设，就是在门槛分配已经给定的情况下，社会结构的加入并不会改变均衡的结果。

再回想一下前面所述的排列的一致性分配：一个人的门槛是0，一个人的门槛是2，一个人的门槛是3，一个人的门槛是4……直到一个人的门槛是99。虚无假设的均衡是1，也就是门槛是0的那个人参加暴动。我们的分析结果显示，当朋友影响力权重给的值愈高时，这均衡结果也就愈不可能；这结论似乎是十分合理的。但分析朋友数量的结果却令人讶异，效果最好的时候发生在每个人平均认识全体的1/4时——这是一个中度的朋友密度。要解释这种现象既无法靠直觉也无法用分析方法，更进一步的研究是必需的。

为了要描述出全面的均衡几率分配状况，我们只好用计算机仿真的方式，先给定一些参数值，然后在一类密度中抽取一个又一个的社会计量矩阵并以向前循环求解法算出其均衡结果。对排列的一致性分配从事模拟的结果产生出与分析方法十分类似的结论，并指出情谊关系的对称与否不太影响均衡。模拟使我们不但检视了没有改变的虚无假设，而且也看到了改变的程度大小。针对这个门槛分配而言，即使没有改变的虚无假设不尽正确，均衡改变也是很小的，很少超过5～10个参加暴动者。因此一个参加者的均衡值在考虑社会结构之后仍是相当稳定的结果。相反的，仿真真正的一致性分配时显示，任何类型的社会结构都会给100人参加暴动的均衡值带来高度的不稳定。对大多数的权重与朋友数量（网络密度）的各式组合而言，均衡经常是1。

这样分析的主要目的在于说明社会结构对集体行动结果的冲击。大多数集体行为理论似乎都假定着参与者相互之间是陌生人（比如Aveni, 1977）。我却相信相互激荡的团体间的社会结构对行动结果有着重要且复杂的影响。当门槛分配有着十分稳定的均衡时，它的影响较小；但是当均衡不稳定时，社会结构的效果会完全改变个人偏好的结果。找出哪些状况下哪一个效果较重要将有助于我们更进一步了解社会结构及集体行动。

时间与空间效果——社会结构是简单门槛模型解释力不足的原因之一。简单门槛模型的另一个问题是假设人们完全相连：也就是每个人对他人行动不管空间相隔或时间落差都会做出完整反应，但这通常是不存在的。斯塔克等人（Margaret Stark et al. , 1974）在分析1965年的瓦茨（Watts）暴动时，指出这不是一场暴动，而是1850场暴动在五日之内分散在各地发生的。

把时间与空间效果也纳入模型要求更高难度的数学，因此研究进度缓慢。只有一些简单结果做出来，但却可能引发十分有趣的议题。

为求简化，试想在一些城市中一大群人有着前面所述的一致性分配的门槛：1%人口有门槛0%, 1%的人看到1%参加就跟着暴动，1%门槛是2%……1%的门槛则高达99%。假设从那一大群人中随机选取一群人聚在一起，人数刚好是100。回想一下，如果这群人刚好就是完美的一致性分配，那么均衡就是每个人加入暴动。但是抽样的变化却使得此一均衡改变。如果刚好一次抽样中竟没有人门槛是0（那个煽风点火者），均衡就是0。如果我们想象一下这100人服从二项分布？分配抽样出来，成功抽到门槛为0者的机会是0.01，那么这种情境发生的几率就可以由下面方式算出来：100次抽样都抽不到的几率是（1－P）100，等于0.37。更且，如果有一个煽风点火者，却少了跟从者，结果只有一人参加暴动的几率是［（）（0.1）（0.99）99］×（0.99）100＝0.14。这意味着有一半几率（0.37+0.14）均衡结果不是0便是1。我们可以看见当门槛几率是一致性分配时，均衡结果会在任意排列之下变得如何脆弱。我们更可以看见当门槛分配并没有变时，只是抽样因为时间早晚或介入事件的发生而有所不同，然而一群人的均衡结果竟会如此不同于另一群人。如果门槛分配所产生的均衡因一点改变而十分不稳定时，这种情况是会发生的。这也意味着两个偏好十分相似的城市，因为一些情境的不同而一个城市发生了大暴动，另一个城市却没事。

斯皮勒曼试图找出哪些城市的特质在1961～1968年的种族失序中造成城市暴动（Spilerman, 1970, 1971, 1976）。在一个逐步回归的方程式中，对两个欲被解释的变量而言，只有两个城市特质有重要影响，一是黑人的人数，另一个较不重要的是城市在不在南方。斯皮勒曼的主要兴趣在于证明个别城市的特质并不影响暴动发生的几率——暴动现象是全国性的——但他却不曾好好探讨为什么黑人人口数是重要的解释变项，只是说这个变项“直接相关于黑人社群的动员能力，也会增加贫民区发生意外事件的机会而带来动乱……爱好动乱倾向是个人的特殊天性，是面对社区中显而易见但又被过分渲染的缘由的一种反应。在此一见解下，一个社区的倾向是个人价值的加总，因此黑人人口的数量由此反映出效果来”（Spilerman, 1970:643－644）。

因时间先后而抽样的变化说明了一个机制解释了斯皮勒曼找到的相关性，但却不限于“个人价值”的加总而已。假设暴动人数一定要达到一定数目才会被报道为一个暴动事件，并且每一个城市在一群暴民可能集结时都有相同的几率达到此一均衡（这样一个几率取决于取样来源的暴民的门槛分配）。如果这个几率是0.10，我们一如斯皮勒曼所论，愈多的黑人人口就会有愈多集结事件发生，每次集结就是一次贝努里实验，其成功几率是0.10。很明显，发生暴动就是集结次数的一个函数，因为二项式分配的平均数是成功几率乘以实验次数。在一个小型社区中，如果只有一次“实验”发生，则90%不会发生大型暴动。但在一个大型城市中发生了10次集结事件，则没有暴动的几率降为0.90的10次方等于0.35，即使这两个城市的门槛分配是一样的。

抽样变化在空间上会和时间上有一样的效果。我们可以想象，这好比从一大片区域中一些分隔的社群里同时抽样好几群人出来集结。不管这些分隔社群有无相同的门槛分配，只要其均衡有一定程度的不稳定，各地的均衡结果就会南辕北辙。下一个问题是，从一群人到另一群人其对所有暴动者的效果是什么。比如我们会问各群人之间什么程度的运动会有最爆发性的效果。这答案很难直接回答，因为已达均衡的一群人产生太多的运动有时会使一些暴动者反而安静下来，因此又进一步地挫折更多人，直到一个新的较低的均衡产生——反向滚雪球效应。因此对一些门槛分配而言，几群人之间少量的运动会比大量运动更有效果，但是需要去做更多的数学工作才能说清楚。

考虑了空间变项之后，模型对大型城市暴动就更具解释力了，尤其是对那种区域分隔又有些许相连的情境。一个典型的情境是采用新发明，这一定是一个个分隔的社群分别采用，但社群间又有少许运动，比如韩国村庄妇女采用避孕计划就是一例，因为村庄之间会有少量移民流动（Rogers, 1975）。此一模型所预示的是门槛分配，情谊网络结构以及移民形态会对采用避孕的程度（均衡结果）产生比计划设计本身还要大的影响。家庭计划的分析人员常因为相同设计却在偏好类似的村落中有完全不同的效果而头痛不已。门槛模型就能解释为什么会如此。另一个加入空间考虑之模型能解释的情境是政党扩张以及招募新人。门槛存在于加入政党者的心中，比如纳粹党在魏玛德国时的扩张。