第2章 风险分析的概率统计基础

2.1 事件与概率

2.1.1 两种自然现象

一切自然现象可分为两类，一类称为必然现象（确定性现象），另一类称为偶然现象（随机现象）。前者的特点是：当一定条件实现时，人们可以准确地预言会发生怎样的结果。后者的特点是：当一定条件实现时，其结果有多种可能，但人们不能准确预言会出现哪种结果。

例如，上抛一粒石子，它受地心引力的作用而必然下落；在标准大气压下，将水加热到100℃，水必然沸腾，等等。这些都属于必然现象。抛掷一枚硬币，落下后可能出现图面，也可能出现字面，抛掷之前，无法确定哪一面向上。打靶射击，射击一次可能击中0环，1环，…，也可能击中10环，射击前也无法知道将会击中几环。这些属于偶然现象。

随机现象的个别试验结果虽然是无规律的，但人们的实践经验表明，对一种随机现象进行大量的观察研究之后，总能显示出某种完全确定的规律，这种规律称为统计规律。例如，若抛掷一枚质地均匀的硬币次数足够多，就会发现，落下后出现图面和字面的次数大体相等，约各占半数，这个半数就是潜在的必然性。概率统计就是研究随机现象统计规律的一门数学分支。

现实世界中的各种风险事件，如社会政治风险，经济风险，各种工程风险等，都具有显著的随机性，因此，“概率论与数理统计”也是研究风险理论的重要数学工具。

2.1.2 事件

1．事件定义

为了研究一种自然现象或社会现象，必然要对它进行观察和实验，我们将这类活动统称为“试验”。如果试验可以在相同条件下重复进行，每次试验的可能结果不止一个，而且事先明确知道有哪些可能发生的结果，但不能预言哪种结果会发生，通常称具有这些性质的试验为随机试验。

随机试验中可能发生，也可能不发生的事情称为随机事件，简称为事件。常用大写英文字母A、B、C…表示。

在一定条件下必然发生的事情称为必然事件，常用符合Ω表示。在一定条件下必然不会发生的事情称为不可能事件，常用符号φ表示。

例如，抛掷一枚硬币，出现“字面”是随机事件。在标准大气压下，将水加热到100℃，“水沸腾”是必然事件，而在标准大气压下，将水加热到50℃，“水沸腾”是不可能事件。

必然事件和不可能事件实质上都具有确定性，但是为了分析问题方便起见，可以把它们看作随机事件的两个特例。

2．事件的运算

（1）事件之和（并）。如果事件C表示事件A与事件B中至少有一个发生，则称C为事件A与事件B的和（或并），记为C=A+B，或C=A∪B。例如，甲、乙二人向同一目标射击，若令A表示“甲击中目标”, B表示“乙击中目标”, C表示“目标被击中”，则C=A+B。

同样，若C表示A1, A2, …, An诸事件中至少有一个发生，则C=A1+A2+…+或记为。

（2）事件之积（交）。如果事件C表示事件A与事件B同时发生，则称事件C为事件A与B的积（或交）。记为C=AB或A∩B。例如，若令A表示“某地某一年发生梅雨洪灾”, B表示“该地该年发生台风雨洪灾”，则AB表示“该地该年既发生梅雨洪灾又发生台风雨洪灾”。

同样，若C表示A1, A2, …, An诸事件同时发生，则或。

（3）事件之差。如果事件C表示事件A发生，而事件B不发生，则称C为事件A与B的差，记为C=A-B。

3．事件之间的关系

（1）包含关系。若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含事件B，记作为A⊃B。例如，若令A表示“某地年雨量超过1000mm”, B表示“该地年雨量超过600mm”，因为若某年雨量超过1000mm，则必然超过600mm，所以A包含B。

（2）互斥（互不相容）事件。若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与事件B互斥、或互不相容。例如，若令A表示“某地区任一年年雨量偏多”, B表示“该地区同一年年雨量偏少”，则A与B不能同时发生，所以A与B互斥。

若事件A与事件B能同时发生，则称A与B为相容事件。

（3）对立事件。若事件A与事件B同时满足关系式：A+B=Ω, AB=φ。即A、B二事件中必有一个发生，但A与B不能同时发生，则称A是B的对立事件，也称B是A的对立事件，或者说A、B二事件互逆。记作，或B=A。例如从一批产品中，任意抽取一件进行检查，“该产品合格”与“该产品不合格”是互逆事件。

2.1.3 概率

1．概率的意义

随机事件在每次试验中可能发生也可能不发生，每个随机事件的发生都具有某种程度的可能性，这种可能性的大小是事件本身所固有的属性。表示事件发生可能性大小的数量就称为该事件发生的概率。一般用P（A）、P（B）、…分别表示事件A、B、…的概率。

2．确定概率的途径

（1）概率的古典定义。对于一类简单的随机现象，如果其所有可能发生结果的总数是有限的，且每次试验每个结果出现的可能性是相等的，此时，可以利用下式计算随机事件A发生概率。

式中：P（A）为事件A发生的概率；n为所有可能结果总数；m为有利于事件A（即使事件A发生）的可能结果数。

利用式（2-1）定义事件A发生的概率称为概率的古典定义。

例如，投掷一颗骰子，可能结果总数为6，即可能出现1点、2点、…6点，n=6。设A表示事件“出现的点数大于2点”。则有利于事件A的可能结果为3点、4点、…6点，m=4，因此，出现的点数大于2点的概率为

因为0≤m≤n，所以0≤P（A）≤1。

对必然事件，m=n，故P（Ω）=1；对不可能事件，m=0，故P（φ）=0。

（2）概率的统计定义。对于不满足古典定义条件的随机事件，可以通过下述统计定义推求其发生的概率。

设事件A在n次试验中发生了nA次，则事件A在这n次试验中发生的频率为

当试验次数n较小时，频率有明显的随机性，但当n增至充分大时，频率将稳定在某个常数附近。这一点已被大量试验和概率论中的“大数定理”所证实。这个常数就是事件A发生的概率。当我们不能求得某些复杂事件的概率时，可以通过多次试验，把频率作为概率的近似值。

3．概率基本定理

（1）概率加法定理。两个互斥事件和的概率等于这两个事件概率的和，即

式中：P（A+B）为事件A与B之和的概率，即事件A和B至少有一个发生的事件之概率；P（A）为事件A的概率；P（B）为事件B的概率。

对任一事件A，因为A+Ā=Ω，且AĀ=φ。所以P（A+Ā）=1，又根据上述加法定理，P（A+Ā）=P（A）+P（Ā），故

若事件A与B并非互斥事件，此时，事件和的概率由下列公式表示：

式中：P（AB）为事件A和B同时发生的概率，可由乘法定理推求。

（2）概率乘法定理。若两事件同时发生的概率等于这两个事件概率的乘积，即

则称事件A与B相互独立。

一般情况下，两事件同时发生的概率具有如下关系；

这种关系称为概率乘法定理。

式中P（B丨A）称为在事件A已发生情况下事件B发生的条件概率，简称为B的条件概率；同理，P（A丨B）称为A的条件概率。

概率加法和乘法定理是概率论中最基本的公式，有广泛的应用。

例1 设某地区位于甲乙两河的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没。设在某个时期内，甲河泛滥的概率P（A）=0.1；乙河泛滥的概率P（B）=0.2；又知由甲河泛滥，而导致乙河泛滥的概率P（B丨A）=0.3。求这个时期内该地区被淹没的概率。求由乙河泛滥，而导致甲泛滥的概率是多少？

解：因A、B两事件相容且不独立，故该地区被淹没的概率为：

由于P（B）P（A丨B）=P（A）P（B丨A）

故由乙河泛滥，而导致甲河泛滥的概率为

2.1.4 全概率公式与贝叶斯公式

1．全概率公式

设A1, A2, …, An是基本空间Ω中的一组事件，若AiAj=φ（i≠j）；A1+A2+…+An=Ω，则称A1, A2, …, An为Ω的一个完备事件群，简称的完备群，如图2-1。

对Ω中的任意事件B（图2-1中阴影部分），因为A1+A2+…+An为必然事件，所以有B=B（A1+A2+…+An）=BA1+BA2+…+BAn

因为A1, A2, …, An两两互斥，所以BA1, BA2, …, BAn也两两互斥，于是由互斥事件的概率加法定理可得：

又根据概率乘法定理可得

上式称为全概率公式。

2．贝叶斯公式

设A1, A2, …, An为Ω中一个完备群，B为Ω中的任意事件，因为B能且只能与互斥事件A1, A2, …, An之一同时发生，若P（Ai）＞0（i=1,2, …, n）, P（B）＞0，则有

这个公式称为贝叶斯公式。

如果把A1, A2, …, An理解为导致事件B发生的各种原因，则P（Ai）表示各种原因发生的概率，一般可由以往经验统计得出，因此称P（Ai）为Ai的先验概率，现在若事件B出现了，则条件概率P（Ai丨B）表示得到B发生这个新信息后，对各种原因发生概率的新认识，因此称P（Ai丨B）为Ai的后验概率。